Cho ∆ABC nhọn, đường tròn tâm O có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi H là giao điểm của BE và DC, K là giao điểm của AH và BC.
a) Tính số đo góc BDC và góc BEC.
b) Cm 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn.
c) Gọi M là trung điểm HC. Cm IM ⊥ OM.
d) Cm tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O) cắt nhau tại I.
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔDCB vuông tại D
=>CD\(\perp\)DB tại D và \(\widehat{CDB}=90^0\)
=>CD\(\perp\)AB tại D
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>\(\widehat{BEC}=90^0\)
ΔBEC vuông tại E
=>BE\(\perp\)EB tại E
=>BE\(\perp\)AC tại E
b:
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH
=>I là trung điểm của AH
c: Xét ΔABC có
BE,CD là đường cao
BE cắt CD tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại K
Xét ΔHAC có
I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>IM là đường trung bình của ΔHAC
=>IM//AC
Xét ΔBHC có
M,O lần lượt là trung điểm của CH,CB
=>MO là đường trung bình của ΔBHC
=>OM//BH
OM//BH
BH\(\perp\)AC
Do đó: OM\(\perp\)AC
IM//AC
OM\(\perp\)AC
Do đó: IM\(\perp\)OM
d: ID=IH
=>ΔDIH cân tại I
=>\(\widehat{IDH}=\widehat{IHD}\)
mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{KHC}=\widehat{CBD}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)
nên \(\widehat{IDH}=\widehat{CBD}\)
OD=OC
=>ΔODC cân tại O
=>\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)
=>\(\widehat{HDK}=\widehat{DCB}\)
\(\widehat{IDK}=\widehat{IDH}+\widehat{KDH}\)
\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0\)
=>ID là tiếp tuyến của (O)(1)
Xét ΔIDO và ΔIEO có
ID=IE
DO=EO
IO chung
Do đó: ΔIDO=ΔIEO
=>\(\widehat{IDO}=\widehat{IEO}=90^0\)
=>IE là tiếp tuyến của (O)(2)
Từ (1),(2) suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại I(ĐPCM)
Cho ∆ABC nhọn AB < AC. Đường tròn tâm O đường kính BC lần lượt cắt cạnh
AB và AC tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a.Chứng minh: các tam giác BEC và BDC là các tam giác vuông. Từ đó suy ra: H là
trực tâm của ∆ABC.
b. Qua B, dựng Bx vuông góc với AB. Qua C, dựng Cy vuông góc với AC. Gọi K là
giao điểm của Bx và Cy. Chứng minh: bốn điểm A, B, K, C cùng thuộc đường tròn
và xác định tâm I của đường tròn đó.
a: Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp đường tròn
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BE và CD , F là giao điểm của AH và BC. a) Tính số đo góc BDC và chứng minh AF vuông tại BC b) Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh KE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Gọi N là giao điểm của đoạn thẳng AF và đường tròn (O). Chứng minh FN bình-FH bình=2FH.HK
(Mong mọi người giúp mình ạ)
a: Xét (O) có
ΔBDC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBDC vuông tại D
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
Xét ΔABC có
BE là đường cao
CF là đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: AH⊥BC
hay AF⊥BC
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC).Đường tròn tâm 0 đường kính bc cắt ab tại e cắt ac tại f .gọi h là giao điểm của bf và ce.
a)c.m 4 điểm A,E,H,F cùng thuộc 1 đường tròn
b)gọi i là trung điểm của ah .cm:OI vuông góc EF
c)Gọi D là giao điểm AH và BC .cm:HA.HD=HB.HF=HC.HE
a: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I.
a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED.
a) Chứng minh AI BC
Ta có ∠BEC = BDC = 90 0 (hai góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn)
Bài 1: Cho tam giác ABC (AB < AC ) có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi H là giao điểm của BD và CE; F là giao điểm của AH và BC
a) CM: Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn
b) Gọi M là trung điểm của AH. CM: MD là tiếp tuyến của đg tròn (O)
c) Gọi K là giao điểm của AH và DE. CM: MD2 = MK.MF và K là trực tâm của tam giác MBC
d) CM: 2/FK = 1/FH + 1/FA
CM CÂU C THÔI NHÁ
cho tam giác abc nhọn, đường tròn (O) đường kính bc cắt ab, ac lần lượt tại E và f. gọi h là giao điểm của bf và ce, ah cắt bc tại d.
a) chứng minh ah vuông góc với bc và tứ giác aehf nội tiếp, xác định tâm K của đường tròn này.
b) chứng minh ke là tiếp tuyến của đường tròn (O) và năm điểm o, d, e, k, f cùng thuộc một đường tròn
c) qua h vẽ đường thẳng vuông góc ho cắt ab, ac lần lượt tại m và n. chứng minh hm=hn
c: Theo câu b, ta được: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác DEKFO
OH vuông góc MN
=>MN là đường kính của (H)
=>HM=HN
Cho tam giác ABC (AB nhỏ hơn AC) có 3 góc nhọn ,đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD, tia AH cắt cạnh BC tại F. Gọi I là trung điểm AH . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt đường thẳng DE tại M. CM: AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) , vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC tại D và E, CD cắt BE tại H. a) Chứng minh AH vuông góc BC. b) Chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường đường tròn, xác định tâm I của đường tròn qua 4 điểm. c) Chứng minh 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đi qua 4 điểm d) Chứng minh OI vuông góc với DE
a:
góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ
=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC
Xét ΔABC có
CD,BE là đường cao
CD cắt BE tại H
=>H là trực tâm
=>AH vuông góc BC
b: góc AEH+góc ADH=180 độ
=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>I là trung điểm của AH
c: góc BDC=góc BEC=90 độ
=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>O là trung điểm của BC
d: ID=IE
OD=OE
=>OI là trung trực của DE
=>OI vuông góc DE
