khó kinh khủng

         VE HINH

â) Xét tứ giác KCID ,co:

 gocI = (cungAB+cungCD):2   = (180+60):2 = 120 độ 

  gocK=(cungAB-cungCD):2   =(180-60):2=60 độ 

gócI+gocK=120do+60do=180 do 

Vay :  tứ giác KCID nội tiếp (tổng số đo 2 góc đối diện=180 độ )

       :góc AKB = 60 độ 

b)Ta có:AB//CD

=>cungAC=cungBD=(180-60):2=60 do (2 cung nằm giữa 2 dây song song thì = nhau ) 

=>AC=BD(2 dây chan 2 cung = nhau thi = nhau )    (1)

=>tứ giác ACDB là hình thang cân 

***Xét : 3giac AKDva  3giac BKC ,co:

gocD=gocC=90do (vi gocC va gocD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

gocCAD=gocDBC(2goc noi tiep cung chan cungCD)

AD=BC(2 đường chéo của hình thang cân thì = nhau )(cmt)

Do do:3giacAKD =3giacBKC (g-c-g)

=>KD=KC (2 canh tương ứng)     (2)

Ta lại có :KA=KC+AC(C nam giua A va K)  

                                                                      }(3) 

              :KB=KD+BD(D nam giua B va K)

Tu (1) ,(2) va (3) suy ra KA=KB  (4)

Tu (2) va (4) suy ra KA.KC=KB.KD .

Cau C ko biet (thong cam nha )

a: góc BAC=1/2*sđ cung BC=90 độ

Vì góc BAE+góc BDE=180 độ

=>BAED nội tiếp

góc CAF=góc CDF=90 độ

=>CFAD nội tiếp

b: góc AEF+góc AFE=90 dộ

góc ABC+góc ACB=90 độ

mà góc AFE=góc ACB(=90 độ-góc B)

nên góc AEF=góc ABC

a: góc BAC=1/2*sđ cung BC=90 độ

Vì góc BAE+góc BDE=180 độ

=>BAED nội tiếp

góc CAF=góc CDF=90 độ

=>CFAD nội tiếp

b: góc AEF+góc AFE=90 dộ

góc ABC+góc ACB=90 độ

mà góc AFE=góc ACB(=90 độ-góc B)

nên góc AEF=góc ABC

c: góc MAE=1/2*sđ cung AC

góc MEA=góc DEC=90 độ-góc ACB=góc ABC=1/2*sđ cung AC

=>góc MAE=góc MEA

=>ΔMAE cân tại M

 Mình giải hơi dài không biết có đúng không. Bạn tự vẽ hình nha!

Gọi F là trung điểm của AD. I là trung điểm của AC. Ta qui về chứng minh B,F,E thẳng hàng

Trước hết ta chứng minh bài toàn phụ: Từ S ngoài (O) kẻ 2 tiếp tuyến SC,SB và cát tuyến SDA, gọi M là giao của SO với BC thì BC là phân giác của góc AMD (bạn tự chứng mình nha).

Áp dụng vào bài toán ta có: AOMD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AOD}=\widehat{AMD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AMD}\Leftrightarrow\widehat{ACD}=\widehat{AMB}\)

mà \(\widehat{ACD}+\widehat{ABD}=180^o,\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AMC}\)

Xét (O) ta có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\)

Suy ra \(\Delta ABD\)đồng dạng với \(\Delta AMC\)(g,g)  mà F là trung điểm AD, I là trung điểm AC suy ra tam giác ABF đồng dạng với tam giác AMI (c.g.c) suy ra \(\widehat{ABF}=\widehat{AMI}\)

Dễ thấy: \(\widehat{OMI}+\widehat{OIC}=90^o+90^o=180^o\)suy ra OMCI nội tiếp suy ra \(\widehat{MIC}=\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{BDC}\)

Kết hợp với \(\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=\widehat{MAC}\)(do tam giác ABD đồng dạng với tam giác AMC) suy ra tam giác AIM đồng dạng với tam giác CDB(g.g) suy ra \(\widehat{ABF}=\widehat{AMI}=\widehat{CBD}=\widehat{CAD}=\widehat{ACE}\left(AD//CE\right)=\widehat{ABE}\)suy ra B,F,E thẳng hàng hay BE đi qua trung điểm AD (đpcm)