\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)

Do n ; n + 1 ; n + 2 là 3 số nguyên dương liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow...+3\left(n+1\right)⋮3\)

hay \(A⋮3\left(đpcm\right)\)

\(A=n^3+3n^2+6n-\left(n+3\right)+6\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)+6n+6\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+6\left(n+1\right)\)

Có: \(n+3\equiv n\)(mod 3)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

nên \(A⋮3\forall n\in Z^+\)

a) Do n, n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 2.

Nếu \(n⋮3\Rightarrow\) tích trên chia hết cho 3. Do (2;3) = 1 nên tích trên chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 hay 2n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Tóm lại với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

b. Ta đặt \(A=n^5-5n^3+4n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\)

Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5.

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra A chia hết cho 8.

Lại thấy (3; 5; ;8) = 1 nê A chia hết cho 3.5.8 = 120.

c) \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

B là tích bốn số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra B chia hết cho 8.

Mà (3;8) = 1 nên B chia hết 3.8 = 24.

Ta có :\(n^3-13n\)

\(=\left(n^3-n\right)-12n\)

\(=n\left(n^2-1\right)-6\left(2n\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)

Vì (n-1);n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp =>(n-1)n(n+1)\(⋮\)2 và 3;

=>(n-1)n(n+1)\(⋮\)6

Mà 6(2n)\(⋮\)6

=>(n-1)n(n+1)-6(2n)\(⋮6\)

\(\Rightarrow n^3-13n⋮6\)

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

cái này dễ hiểu hơn

5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) chia hết cho 91
A = 5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) = + 5^n – 18^n – 12^n
= 25^n – 18^n – (12^n – 5^n)
Ta có: 25 – 18 chia hết cho 7
Nên 25 đồng dư với 18 khi chia cho 7
Hay 25^n đồng dư với 18^n khi chia cho 7
Suy ra 25^n – 18^n chia hết cho 7
Chứng minh tương tự thì 12^n – 5^n chia hết cho 7
Nên A chia hết cho 7
Mặt khác A = 25^n – 12^n – (18^n – 5^n)
với 25^n – 12^n và 18^n – 5^n đều chia hết cho 13
Suy ra A chia hết cho 13
Vậy A chia hết cho 7.13 = 91

Ta có:\(A=n^3+11n=n^3-n+12n\)

=\(n\left(n^2-1\right)+12n\)

Lại có: \(n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\).

Mà \(12n⋮6\) \(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)\(⋮6\)

\(\Rightarrow A=n^3+11n⋮6\left(đpcm\right)\)

ko cần nữa nh tui nhầm bài OK

Đặt \(A=n(n+1)(2n+1)\)

Nếu $n$ chẵn thì $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Nếu $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn, do đó $A$ chẵn \(\Rightarrow A\vdots 2\)

Vậy $A$ luôn chia hết cho $2$ $(I)$

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$ nên $A$ chia hết cho $3$

Vậy $A$ luôn chia hết cho $3$ $(II)$

Từ $(I),(II)$ kết hợp với $(2,3)=1$ suy ra \(A\vdots (2.3=6)\) (đpcm)

Nguyễn Huy TúAkai Haruma

6 nha

Help me TT 

Giúp mk vs ? 

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 3 . Mà (2,3) = 1 nên n(n+1)(n+2) chia hết cho 6.

Từ đó có đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

=>đpcm

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n^3+3n^2+2n=n\left(n^2+3n+2\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Có: \(n;n+1;n+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho cả 2 và 6.

Mà: \(\text{Ư}CLN\left(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right)=1\) nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2.3=6\) (đpcm)

tham khảo tại đây nha! LG đúng đó:

 https://olm.vn/hoi-dap/question/271796.html