Lời giải:

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).

Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$

\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$

\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$

Do đó:

\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)

\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)

\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)

Ta có \(a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,a+c\ge0,b+c\ge0\)

Do đó \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\Rightarrow c< 0\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow bc+ac+ab=0\)

\(\Rightarrow c^2=c^2+bc+ac+ab\)

\(\Rightarrow c^2=c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+2c=0\)

\(\Rightarrow a+b=a+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+b+c\)

\(\Rightarrow a+b=\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)(đpcm)

Hoặc cách 2 bạn có thể đi ngược lại giả thuyết.Chúc bạn học tốt.

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\text{Xét hiệu: }\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

\(\Leftrightarrow2c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow c^2=ab+ac+bc+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)(đúng với giải thiết)

Vậy \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)

Khó nhỉ

khó thì mình mới nhờ các bạn chứ

đề sai đúng không mn?

Nhìn đề thấy mệt nên sửa lại đỡ mệt.

Cho \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\end{cases}}\)

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

Giải:

Theo đề ta có:

\(b^2=\frac{a^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow b^2-a^2=c^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(b+a\right)\left(b-a\right)=\left(c+b\right)\left(c-b\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{b+c}=\frac{c-b}{a+b}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{2}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{c-b}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-a+a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow0=0\)

Vậy....