a)

Đặt AB=AC=a (không đổi); BD=AE=b (0<x<a)

Áp dụng định lý Pi-ta go với \(\Delta ADE\) vuông tại A ta có:

\(DE^2=AD^2+AE^2=\left(a-x\right)^2+a^2=2x^2-2ax+a^2\)\(=2\left(x^2-ax\right)-a^2\)

\(=2\left(x-\frac{a^2}{4}\right)^2+\frac{a^2}{2}\ge\frac{a^2}{2}\)

Ta có DE nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\)\(DE^2\) nhỏ nhất\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\)

\(\Leftrightarrow BD=AE=\frac{a}{2}\Leftrightarrow D,E\) là trung điểm của AB;AC.

Vậy D;E phải là trung điểm của AB;AC thì DE có độ dài nhỏ nhất.

b)

Ta có:\(S_{ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE=\frac{1}{2}.AD.BD\)\(=\frac{1}{2}AD\left(AB-AD\right)=\frac{1}{2}\left(AD^2-AB.AD\right)\)

\(=-\frac{1}{2}\left(AD^2-2\frac{AB}{2}.AD+\frac{AB^2}{4}\right)+\frac{AB^2}{8}\)\(=-\frac{1}{2}\left(AD-\frac{AB}{4}\right)^2+\frac{AB}{2}\le\frac{AB^2}{8}\)

Vậy \(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{ADE}\ge\frac{AB^2}{2}-\frac{AB^2}{8}=\frac{3}{8}AB^2\) không đổi.

Do đó: \(min_{S_{BDEC}}=\frac{3}{8}AB^2\)  khi D;E lần lượt là trung điểm của AB;AC.

ghi nhầm lung tung

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)

Áp dụng định lý Pitago với \[\Delta \]ADE vuông tại A có:

DE² = AD² + AE² = (a – x)² + x² = 2x² – 2ax + a² = 2(x² – ax) – a²

= 2(x –\[\frac{{{a}^{2}}}{4}\])² + \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\] \[\ge \] \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\]

Ta có DE nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ DE² nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ x =\[\frac{a}{2}\]

$\Leftrightarrow $ BD = AE =\[\frac{a}{2}\] $\Leftrightarrow $ D, E là trung điểm AB, AC

b) Ta có: S_ADE =\[\frac{1}{2}\]AD.AE =\[\frac{1}{2}\]AD.BD =\[\frac{1}{2}\]AD(AB – AD)=\[\frac{1}{2}\](AD² – AB.AD)

= –\[\frac{1}{2}\](AD² – 2\[\frac{AB}{2}\].AD + \[\frac{A{{B}^{2}}}{4}\]) + \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = –\[\frac{1}{2}\](AD – \[\frac{AB}{4}\])² + \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] \[\le \] \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\]

Vậy S_BDEC = S_ABC – S_{ADE\[\ge \]} \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] – \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = \[\frac{3}{8}\] AB² không đổi

Do đó min S_BDEC =\[\frac{3}{8}\]AB² khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)