Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho: a/ DE có độ dài nhỏ nhất b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

(giai chi tiet gium minh nhe,!!!)

Answer 1

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)

Áp dụng định lý Pitago với \[\Delta \]ADE vuông tại A có:

DE² = AD² + AE² = (a – x)² + x² = 2x² – 2ax + a² = 2(x² – ax) – a²

= 2(x –\[\frac{{{a}^{2}}}{4}\])² + \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\] \[\ge \] \[\frac{{{a}^{2}}}{2}\]

Ta có DE nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ DE² nhỏ nhất $\Leftrightarrow $ x =\[\frac{a}{2}\]

$\Leftrightarrow $ BD = AE =\[\frac{a}{2}\] $\Leftrightarrow $ D, E là trung điểm AB, AC

b) Ta có: S_ADE =\[\frac{1}{2}\]AD.AE =\[\frac{1}{2}\]AD.BD =\[\frac{1}{2}\]AD(AB – AD)=\[\frac{1}{2}\](AD² – AB.AD)

= –\[\frac{1}{2}\](AD² – 2\[\frac{AB}{2}\].AD + \[\frac{A{{B}^{2}}}{4}\]) + \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = –\[\frac{1}{2}\](AD – \[\frac{AB}{4}\])² + \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] \[\le \] \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\]

Vậy S_BDEC = S_ABC – S_{ADE\[\ge \]} \[\frac{A{{B}^{2}}}{2}\] – \[\frac{A{{B}^{2}}}{8}\] = \[\frac{3}{8}\] AB² không đổi

Do đó min S_BDEC =\[\frac{3}{8}\]AB² khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)