Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho DE ó độ dài nhỏ nhất.

Answer 1

Xét tam giác ADE vuông tại A ta có:

AD²+AE²=DE²( Đlý Pitago)

Chứng minh BĐT sau

x²+y²\(\ge2xy\)

<=> \(x^2-2xy+y^2\ge0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2\ge0\left(Lđ\right)\)

Dấu"=" xảy ra khi

\(\left(x-y\right)^2=0\)

=> x=y

Áp dụng BĐT trên ta được

AD²+AE²\(\ge2AD.AE\)

=> DE²\(\ge2AD.AE\)

=> DE\(\ge2\sqrt{AD.AE}\)

Dấu "=" xảy ra khi

AD=AE

Mà AE=BD(gt)

AD=EC

Nên AD=BD

AE=EC

=> AD=BD=AE=EC

=>khi D là trung điểm AB và E là trung điểm AC

Thì DE đạt GTNN