Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= ( 4a/b+c-a) +(9b/a+c-b)+(16c/a+b-c) trong đó a,b,c là độdài ba cạnh của một tem giác
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{4a}{b+c-a}\) + \(\frac{9b}{c+a-b}\)+ \(\frac{16c}{a+b-c}\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\Rightarrow x;y;z>0\text{ và }\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}}\)
Áp dụng AM - GM, ta có:
\(2P=4\left(\frac{y+z}{x}\right)+9\left(\frac{x+z}{y}\right)+16\left(\frac{x+y}{z}\right)\)
\(=\left(4\frac{y}{x}+9\frac{x}{y}\right)+\left(4\frac{z}{x}+16\frac{x}{z}\right)+\left(9\frac{x}{y}+16\frac{x}{z}\right)\ge12+16+24=52\Rightarrow P\ge26\)
\(Đ\text{T}\Leftrightarrow3z=4y=6x\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =\(\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
Đặt \(x=b+c-a,y=a+c-b,z=a+b-c\) . Khi đó x,y,z >0 và \(a=\frac{y+z}{2},b=\frac{x+z}{2},c=\frac{x+y}{2}\)
Vậy \(P=\frac{2y+2z}{x}+\frac{9x+9z}{2y}+\frac{8x+8y}{z}=\left(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\right)\)
\(\ge2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}\). Dấu '=' xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2y}{x}=\frac{9x}{2y}\\\frac{2z}{x}=\frac{8x}{z}\\\frac{9z}{2y}=\frac{8y}{z}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4y^2=9x^2\\2z^2=8x^2\\9z^2=8y^2\end{cases}}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\2x=z\\2y=3x;3z=4y\end{cases}}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
(Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Đặt \(x=b+c-a\) , \(y=a+c-b\), \(z=a+b-c\) thì x , y , z > 0
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{z+y}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(P=\frac{2y+2z}{x}+\frac{9z+9x}{2y}+\frac{8x+8y}{z}\)
\(=\left(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}\right)+\left(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\right)\ge2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2y}{x}=\frac{9x}{2y}\\\frac{2z}{x}=\frac{8x}{z}\\\frac{9z}{2y}=\frac{8y}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y^2=9x^2\\2z^2=8x^2\\9z^2=8y^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{z}{2}\\y=\frac{3}{2}x\\z=\frac{4}{3}y\end{matrix}\right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 26 khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{z}{2}\\y=\frac{3}{2}x\\z=\frac{4}{3}y\end{matrix}\right.\)
Chúc bạn học tốt !!
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [a2(b+c) + b2(a+c)] / abc, trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (c là độ dài cạnh huyền).
tìm giá trị nhỏ nhất của
\(\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
Tìm GTNN của P=\(\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{c+a-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)biết a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác
Ban nen cho phan khac chu khong phai phan giai tri
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9a}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\)
Cho ba số thực dương a; b và c thỏa mãn :\(a+b+c=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
\(P=\sqrt{9a+16b}+\sqrt{9b+16c}+\sqrt{9c+16a}\)
\(P\le\sqrt{3\left(9a+16b+9b+16c+9c+16a\right)}=\sqrt{75\left(a+b+c\right)}=15\)
\(P_{max}=15\) khi \(a=b=c=1\)