a: góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

b: góc NEI+góc NBI=180 độ

=>NEIB nội tiếp

=>góc ENI=góc EBI

góc MIN=góc MIE+góc NIE

=góc MAE+góc NBE

=90 độ-góc EAI+90 độ-góc EBI

=90 độ

1: góc MAI+góc MEI=180 độ

=>MAIE nội tiếp

2: góc IEN+góc IBN=180 độ

=>IENB nội tiếp

MAIE nội tiếp

=>góc AMI=góc AEI

IENB nội tiếp

=>góc BIN=góc BEN

góc BEN+góc IEB=90 độ

góc AEI+góc BEI=90 độ

=>góc BEN=góc AEI

=>góc AMI=góc BIN

a. Em tự giải

b.

Do \(AM||BN\) (cùng vuông góc AB) \(\Rightarrow\widehat{AMN}+\widehat{BNM}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

Mà \(\widehat{AMN}+\widehat{AIE}=180^0\) (AMEI nội tiếp) \(\Rightarrow\widehat{AIE}=\widehat{BNM}\) (1)

Lại có \(\widehat{NBE}=\widehat{BAE}\) (cùng phụ \(\widehat{ABE}\)) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\Delta IAE\sim\Delta NBE\left(g.g\right)\) (3)

\(\Rightarrow\dfrac{IE}{NE}=\dfrac{IA}{NB}\Rightarrow IA.NE=IE.NB\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}IB.NE=IE.NB\Rightarrow IB.NE=3IE.NB\)

c.

AMEI nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{AEI}\) (cùng chắn AI)

Từ (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{NEB}\) \(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{NEB}\)

Lại có tứ giác BNEI nội tiếp (B và E đều nhìn IN dưới 1 góc vuông)

\(\Rightarrow\widehat{NEB}=\widehat{NIB}\) (cùng chắn NB)

\(\Rightarrow\widehat{AMI}=\widehat{NIB}\)

\(\Rightarrow\Delta_VAMI\sim\Delta_VBIN\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{BI}=\dfrac{AI}{BN}\Rightarrow AM.BN=AI.BI=\dfrac{R}{2}.\dfrac{3R}{2}=\dfrac{3R^2}{4}\)

Đặt \(AM=x>0\Rightarrow BN=\dfrac{3R^2}{4x}\)

Ta có: \(S_{MIN}=S_{ABNM}-\left(S_{AMI}+S_{BIN}\right)=\dfrac{\left(AM+BN\right).AB}{2}-\left(\dfrac{AM.AI}{2}+\dfrac{BN.BI}{2}\right)\)

\(=\dfrac{\left(x+\dfrac{3R^2}{4x}\right).2R}{2}-\left(\dfrac{x.\dfrac{R}{2}}{2}+\dfrac{\dfrac{3R^2}{4x}.\dfrac{3R}{2}}{2}\right)\)

\(=\dfrac{3Rx}{4}+\dfrac{3R^3}{16x}=\dfrac{3R}{4}\left(x+\dfrac{R^2}{4x}\right)\ge\dfrac{3R}{4}.2\sqrt{\dfrac{R^2x}{4x}}=\dfrac{3R^2}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\dfrac{R}{2}\) hay \(AM=AI\)

a: Ta có: ΔOBE cân tại O

mà OD là trung tuyến

nên OD vuông góc với BE và OD là phân giác của góc BOE

b: Xét ΔDEB có

DN vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔDEB cân tại D

c: Xét ΔDBO và ΔDEO có

DB=DE
BO=EO

DO chung

Do đo: ΔDBO=ΔDEO

=>góc DEO=90 độ

=>DE là tiếp tuyến của (O)

d: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đo: ΔAEB vuông tại E

Xét ΔAEB có AO/AB=AM/AE
nên OM//EB và OM=EB/2

=>OM//EN và OM=EN

=>EMON là hình bình hành

mà góc MEN=90 độ

nên EMON là hình chữ nhật

a: Ta có: ΔOBE cân tại O

mà OD là trung tuyến

nên OD vuông góc với BE và OD là phân giác của góc BOE

b: Xét ΔDEB có

DN vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔDEB cân tại D

c: Xét ΔDBO và ΔDEO có

DB=DE
BO=EO

DO chung

Do đo: ΔDBO=ΔDEO

=>góc DEO=90 độ

=>DE là tiếp tuyến của (O)

d: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đo: ΔAEB vuông tại E

Xét ΔAEB có AO/AB=AM/AE
nên OM//EB và OM=EB/2

=>OM//EN và OM=EN

=>EMON là hình bình hành

mà góc MEN=90 độ

nên EMON là hình chữ nhật