Với cả 3 phần thì dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1.

a) \(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)

(Cosi) \(\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(CS\right)\left(a+b+c\right)-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\dfrac{3^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)

b) \(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge\left(CS\right)1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

Tương tự : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

c)\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\left(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)

Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

Áp dụng, thay vào A, ta có: 

\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)

= chịu

Toán lớp 9

đkxđ: \(abc\ne0\)

\(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2\)

 Kết hợp với \(a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) và đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=2\left(xy+yz+zx\right)\), dễ dàng suy ra \(ab+bc+ca=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{a+b+c}{abc}\) \(\Leftrightarrow a+b+c=abc\left(ab+bc+ca\right)\) (1)

 Mặt khác, \(a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) \(\Leftrightarrow a+b+c=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\) \(\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\left(a+b+c\right)\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(a+b+c=\left(abc\right)^2\left(a+b+c\right)\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\abc=\pm1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b+c=0\), suy ra \(\dfrac{ab+bc+ca}{abc}=0\) hay \(ab+bc+ca=0\), từ đó suy ra \(a^2+b^2+c^2=0\) \(\Leftrightarrow a=b=c=0\), loại

TH2: \(abc=1\). Ta dễ dàng suy ra được \(a+b+c=ab+bc+ca\). Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\) \(=abc-\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)-1\) \(=0\) nên suy ra \(\left[{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\). Giả sử \(a=1\). Khi đó ta có \(bc=1\)

 Thay lại vào 2 pt đã cho, ta đều thấy thỏa mãn. Vậy ta tìm được 1 tập nghiệm của hệ là \(S_1=\left\{\left(a;b;c\right)|a=1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi nghiệm thuộc tập S₁.

 TH3: \(abc=-1\). Ta kiểm chứng được \(a+b+c+ab+bc+ca=0\). Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=0\) nên \(\left[{}\begin{matrix}a=-1\\b=-1\\c=-1\end{matrix}\right.\). Nếu \(a=-1\) thì suy ra \(bc=1\). Thử lại vào cả 2 pt ta đều thấy thỏa mãn. Như vậy ta tìm được tập nghiệm nữa của hpt đã cho là \(S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=-1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi bộ nghiệm trong các nghiệm thuộc \(S_2\).

 Vậy tập nghiệm của hpt đã cho là \(S=S_1\cup S_2=\left\{\left(a;b;c\right)|a=\pm1;bc=1\right\}\) và các hoán vị của mỗi phần tử thuộc S.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{12}=\dfrac{c}{15}=\dfrac{a-b-c}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}=\dfrac{-28}{19}\)

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-224}{19}\\b=\dfrac{-336}{19}\\c=\dfrac{-420}{19}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{\left(a+b+a+c\right)^2}\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{1}{4\left(a^2+ab+bc+ca\right)}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)

Tương tự và cộng lại:

\(P\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}+\dfrac{4}{c^2}\right)=\dfrac{1}{16}.3=\dfrac{3}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Áp dụng bđt: \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(1\right)\)

\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{16}\left[\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2\right]\)\(\Rightarrow16P\le\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)\) với a+b=x,b+c=y,c+a=z

\(\Rightarrow16P\le\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

Ta có: \(\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)(do (1))

\(\Rightarrow16P\le\dfrac{1}{4}.16\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}\right)\le\dfrac{1}{4}.4.\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\)(do(2) và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\))

\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{16}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)

Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:

$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)

\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)

\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)

Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:

$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)

\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)

\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

\(=\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\left(1a+4.\dfrac{1}{b}\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{a^2+\dfrac{1}{vb^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\dfrac{4}{b}\right)\) 

Tương tự

\(\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\dfrac{4}{c}\right)\\ \sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\dfrac{4}{a}\right)\\ Do.đó:\\ Q\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\dfrac{4}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{4}{c}\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left(a+b+c+\dfrac{36}{a+b+c}\right)\) 

\(=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\\ \left[a+b+c+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\dfrac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\\ \ge\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

a: Gọi phân số cần tìm có dạng là \(\dfrac{a}{b}\left(b\ne0\right)\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{3}< \dfrac{a}{b}< \dfrac{1}{2}\)

=>\(0,\left(3\right)< \dfrac{a}{b}< 0,5\)

=>\(\dfrac{a}{b}=0,4;\dfrac{a}{b}=0,42\)

=>\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{5};\dfrac{a}{b}=\dfrac{21}{25}\)

Vậy: Hai phân số cần tìm là \(\dfrac{2}{5};\dfrac{21}{25}\)

b: a/b<1

=>a<b

=>\(a\cdot c< b\cdot c\)

=>\(a\cdot c+ab< b\cdot c+ab\)

=>\(a\left(c+b\right)< b\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)

Ta có:\(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{x}{2};\dfrac{y^2}{9}=\dfrac{y}{3};\dfrac{z^2}{25}=\dfrac{z}{5}\)

Aps dụng tính chất dãy tỉ số bằn nhau:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x-y+z}{2-3+5}=\dfrac{4}{4}=1\)

=>\(\dfrac{x}{2}=1=>x=2\)

  \(\dfrac{y}{3}=1=>y=3\)

\(\dfrac{z}{5}=1=>z=5\)

Vậy x=2, y=3, z=5

Ta có : \(\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{y^2}{9}=\dfrac{z^2}{25}\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được : 

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}=\dfrac{x-y+z}{2-3+5}=\dfrac{4}{4}=1\)

\(\Leftrightarrow x=2;y=3;z=5\)