Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d(với a>b>c>d).CMR A=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(b-c)x(b-d)x(c-d) chia hết cho 12
Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d(với a>b>c>d).CMR: A=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(b-c)x(b-d)x(c-d) chia hết cho 12
Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d(a>b>c>d).CMR: A=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(b-c)x(b-d)x(c-d) chia hết cho 12
đặt S=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)
trong 4 số nguyên a,b,c,d chắc chắn có 2 số chia hết cho 3 có cùng số dư =>hiệu của chúng chia hết cho 3
nên S chia hết cho 3 (1)
Ta lại có trong 4 số nguyên a,b,c,d hoac có 2 số chẵn,2 số lẻ,chẳng hạn a,b là số chẵn và c,d là số lẻ,thế thì a-b và c-d chia hết cho 2 nên (a-b)(c-d) chia hết cho 4=> s chia hết cho 4
Hoặc nếu ko phải như trên thì trong 4 số trên tồn tại 2 số chia 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4=>S chia hết cho 4 (2)
từ (1) và (2) ta có S chia hết cho 3 và S chia hết cho 4 mà (3;4)=1 nên S chia hết cho 12(đpcm)
tick nhé,khó lắm đấy
Bạn ơi tại sao chia 4 lại tồn tại 2 số dư?chia 4 xảy ra 4 trường hợp mà
cho 6 số tự nhiên a,b,c,d,e (a >hoặc bằng b>hoặc bằng c>hoặc bằng d>hoặc bằng e)
CMR: M=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(a-e)x(b-c)x(b-d)x(b-e)x(c-d)x(c-e)x(d-e) chia hết cho 288
Cho 5 số tự nhiên a,b,c,d,e(a_> b_>c _>d_>e)
CMR:
M=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(a-e)x(b-c)x(b-d)x(b-e)x(c-d)x(c-e)x(d-e) chia hết cho 288
HELP ME,giúp mk với nha
cho 4 số tự nhiên a,b,c,d(a>b>c>d)
chứng minh A=(a-b)x(a-c)x(a-d)x(b-c)x(b-d)x(c-d)
bài 1 : a) cho đa thức P(x)= ax3+bx2+cx+d với a,b,c,d là các hệ số nguyên. CMR: nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a,b,c,d đều chia hết cho 5
b) cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. CMR: n4+4n là hợp số
bài 2: a) CMR: \(\frac{a^4+b^4}{2}>,=ab^3+a^3b-a^2b^2\)
b) cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn đk \(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}=2\)
TÌm GTLN của tích (a+b)(b+c)(c+a)
bài 1b
+)Nếu n chẵn ,ta có \(n^4⋮2,4^n⋮2\Rightarrow n^4+4^n⋮2\)
mà \(n^4+4^n>2\)Do đó \(n^4+4^n\)là hợp số
+)nếu n lẻ đặt \(n=2k+1\left(k\in N\right)\)
Ta có \(n^4+4^n=n^4+4^{2k}.4=\left(n^2+2.4k\right)^2-2n^2.2.4^k\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}\right)^2-\left(2.n.2^k\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^{2k+1}+2n.2^k\right)\left(n^2+2^{2k+1}-2n.2^k\right)\)
\(=\left(\left(n+2^k\right)^2+2^{2k}\right)\left(\left(n-2^k\right)^2+2^{2k}\right)\)
là hợp số,vì mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2
(nhớ k nhé)
Bài 2a)
Nhân 2 vế với 2 ta có
\(a^4+b^4\ge2ab\left(a^2+b^2\right)-2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Dẫu = xảy ra khi \(a=b\)
dat a+b=x b+c=y c+a=z \(\Rightarrow\) dt tro thanh \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\) \(\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (bdt amgm)
tuong tu \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
\(\frac{\Rightarrow1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xz}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}.2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
=\(8.\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)dau = xay ra khi x=y=z=1/2 hay a=b=c=1/4
(a-b)x(a-c)x(a-d)x(b-c)x(b-d)x(c-d) chia hết cho 12
Cho đa thức f(x) = a.x^3+b.x^2 +cx + d với các hệ số a,b,c,d nguyên. CMR nếu f(x) chia hết cho 5 với mọi x thì các hệ số a,b,c,d cũng chia hết cho 5
Mình làm theo cách của bài185 trong sách "Nâng cao và phát triển toán 7 tập 2"của tác giả Vũ Hữu Bình nhé :
Vì f(x) chia hết cho 5 với mọi x thuộc Z
=>f(0) = a.\(0^3\)+b.\(0^2\)+c.0+d = d chia hết cho 5 ('1')
=>f(1) = a.\(1^3\)+b.\(1^2\)+c.1+d = a+b+c+d chia hết cho 5 ('2')
=>f(-1) = a.\(\left(-1\right)^3\)+b.\(\left(-1\right)^2\)+c.(-1)+d = -a+b-c+d chia hết cho 5 ('3')
=>f(2) = a.\(2^3\)+b.\(2^2\)+c.2+d = 8a+4b+2c+d chia hết cho 5 ('4')
Lấy (2)-(1) = a+b+c+d-d = a+b+c chia hết cho 5 ('5')
Lấy(2)+(3)-(1) = a+b+c+d-a+b-c+d-d = 2b chia hết cho 5 mà 2 không chia hết cho 5 => b chia hết cho 5 ('6')
Lấy (3)-(1)-(6) = -a+b-c+d-d-b = -a-c chia hết cho 5 ('7')
Lấy ('4')-('1')-4.('6')+2.('7') = 8a+4b+2c+d-d-4b+2(-a-c) = 8a+2c+(-2a)+(-2c) = 6a chia hết cho 5 (vì mỗi số hạng đều chia hết cho 5 đã cm ở trên)
Mà 6 không chia hết cho 5 => a chia hết cho 5 ('8')
Lấy ('7')+('8') = -a-c+a = -c chia hết cho 5 => -1.(-c) = c chia hết cho 5 ('9')
Vậy từ ('1');('2');('8');('9') => f(x) chia hết cho 5 với mọi x thuộc Z thì các hệ số a;b;c;d cũng chia hết cho 5
Để f(x) chia hết cho 5 <=> a.x^3 +b.x^2 +cx +d cũng chia hết cho 5
<=>a.x^3 chia hết cho 5 và b.x^2 chia hết cho 5 và c.x chia hết cho 5 và d chia hết cho 5 (cùng xảy ra 1 lúc)
Mà x là mọi x nên theo tính chất chia hết của 1 tích ta có a,b,c,d phải chia hết cho 5 (đpcm)
a) Cho P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c nguyên). Biết rằng P(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x. CMR: a, b, c đều chia hết cho 3.
a) Cho Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d nguyên). Biết rằng Q(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. CMR: a, b, c, d đều chia hết cho 5.
(Giup mình với, mai mình phải nộp)