Gọi \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n^3+2n\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n^3+2n\right)=\left(n^4+2n^2\right)⋮d\\\left(n^4+3n^2+1\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\Leftrightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> P/s tối giản

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right);\left(d>0\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\left(1\right)\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

Từ \(\left(1\right)\): \(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)(do \(n^4+2n^2⋮d\))

Vì \(d>0\)\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)là phân số tối tối giản với mọi n nguyên

Lời giải:

Giả sử phân số đã cho không tối giản.
Gọi $p$ là ước nguyên tố chung của của $n^3+2n, n^4+3n^2+1$

$\Rightarrow n^3+2n\vdots p$
$\Rightarrow n(n^2+2)\vdots p$

$\Rightarrow n\vdots p$ hoặc $n^2+2\vdots p$.

Nếu $n\vdots p$. Kết hợp với $n^4+3n^2+1\vdots p\Rightarrow 1\vdots p$

$\Rightarrow p=1$ (không tm vì $p$ là snt) 

Nếu $n^2+2\vdots p$.

Kết hợp với $n^4+3n^2+1\vdots p$

$\Rightarrow n^2(n^2+2)+(n^2+2)-1\vdots p$

$\Rightarrow 1\vdots p\Rightarrow p=1$ (không tm vì $p$ là snt)

Vậy điều giả sử không đúng.

$\Rightarrow$ phân số đã cho tối giản.

Gọi d là ước chung của n^3 + 2n và n^4 + 3n^2 + 1. Ta có:

       n^3 + 2n chia hết cho d =>  n(n^3 + 2n) chia hết cho d =>   n^4 + 2n^2 chia hết cho d (1)

       n^4 + 3n^2 + 1 -(n^4 + 2n^2) = n^2 + 1 chia hết cho d  => (n^2 + 1)^2  =  n^4 + 2n^2 + 1 chia hết cho d  (2)

 Từ (1) và (2) suy ra :     

                                               (n^4 + 2n^2 + 1)- (n^4 + 2n^2) chia hết cho d  =>  1 chia hết cho d => d=+-1

   Vậy phân số trên tối giản vì mẫu và tử có ước chung là +-1

Phân số trên sẽ tối giản vì không có bất kì các số nào có thể rút gọn với nhau . 

Nếu như có thể thì khi ta cộng lại cũng không thể , vì đang rút được ta cộng một vào bất kì ( mẫu / tử ) đều khiến phép tính không thể rút gọn tiếp được nữa . 

Vậy không thể rút gọn và phân số này đã tối giản

Gọi d = ƯCLN ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 )

=> n³ + 2n \(⋮\)d  ( 1 ) và n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d ( 2 )

Từ ( 1 ) => n . ( n³ + 2n ) \(⋮\)d => n⁴ + 2n² \(⋮\)d ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => ( n⁴ + 3n² + 1 ) - ( n⁴ + 2n² ) \(⋮\)d

=> n⁴ + 3n² + 1 - n⁴ - 2n² \(⋮\)d

=> ( n⁴ - n⁴ ) + ( 3n² - 2n² ) + 1 \(⋮\)d

=> n² + 1 \(⋮\)d ( * )

=> n² . ( n² + 1 ) \(⋮\)d

=> n⁴ + n² \(⋮\)d ( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => ( n⁴ + 2n² ) - ( n⁴ + 2n ) \(⋮\)d

=> n² \(⋮\)d ( 5 )

Từ ( * ) và ( 5 ) => ( n² + 1 ) - n² \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d = 1

Vậy : phân số đã cho tối giản

gọi ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 ) = d

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}\Leftrightarrow n^2+1⋮d}\)

Mà n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d

= n⁴ + 2n² + n² + 1

= ( n⁴ + 2n² + 1 ) + n² 

= ( n² + 1 ) ² + n² \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)n² \(⋮\)d

\(\Leftrightarrow\)1 \(⋮\)d

Tham khảo nha bạn! Mình không có thời gian!

Link:

tth 

Đs

Gọi a là ước chung của n^3 +2n và n^4 + 3n^2 + 1

n^3 + 2n chia hết cho a => n(n^3 + 2n) chia hết cho a = > n^4 + 2n^2 chia hết cho a (1)

n^4 + 3n^2 + 1 - (n^4 + 2n^2 )= n^2 +1 chia hết cho a = > (n^2 + 1) ^ 2 = n^4 + 2n^2 + 1  chia hết cho d (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

(n^4 + 2n^2 + 1) - (n^4 + 2n ^2 ) chia hết cho a = > 1 chia hết cho a = > a = + - 1

Vậy phân số trên tối giản vì mẫu tử có ước chung là n + 1

trog Sách chuyên đề lớp 6 nhé bn , bài này giải ra dài lắm

Gọi d là ƯC(n³+2n;n⁴+3n²+1)

n³+2n chia hết d;n⁴+3n²+1 chia hết d

n(n³+2n) chia hết d ; n⁴+3n²+1 chia hết d

n⁴+2n² chia hết d; n⁴+3n²+1 chia hết d

(n⁴+3n²+1) - (n⁴+2n²) chia hết d

n²+1 chia hết d

n(n²+1) chia hết d

n³+n chia hết d

(n³+2n)-(n³+n) chia hết d

n chia hết d

n² chia hết d

(n²+1)-(n²) chia hết cho d

 1 chia hết d

d=1 

PS tối giản

Gọi d là ước chung của \(n^3+2n\) và \(n^4+3n^2+1\) . ta có :

+) \(n^3+2n⋮d\)

\(\Rightarrow n\left(n^3+2n\right)⋮d\)

\(\Rightarrow n^4+2n^2⋮d\)   (1)

Và  \(n^4+3n^2+1-\left(n^4+2n^2\right)=n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left(n^2+1\right)^2=n^4+2n^2+1⋮d\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\left(n^4+2n^2+1\right)-\left(n^4+2n\right)^2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) là phân số tối giản (đpcm)