Cho tam giác ABC vuông tại A,AB < AC,M là trung điểm của AC. Đường thẳng qua M vuông góc với BC và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng AD vuông góc với BM.
cho tam giác ABC vuông tại A,AB<AC, M là trung điểm của AC. Đường thẳng đi qua M vuông góc với BC và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D.Chứng minh AD vuông góc với MB
Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 8cm. Gọi M là trung điểm của AC. Đường thẳng qua M, vuông góc với BM và đường thẳng qua C, vuông góc với AC cắt nhau tại D.
a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CMD đồng dạng.
b) Tính trị số của tích AB.CD.
c) Chứng minh BM là tia phân giác của góc ABD
Cho tam giác ABC vuông tại B có A = 60 độ. Vẽ đường phân giác AD (D thuộc BC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N.
Chứng minh rằng: tam giác ABC đều và M là trung điểm của AC.
Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA
nên ΔDAC cân tại D
=>M là trung điểm của AC
Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm của BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại I. Chứng minh: a, Tam giác AMB = tam giác AMC b. AM vuông góc BC c, IB = IC d, 3 điểm A, M, I thẳng hàng.
a: Xét ΔAMB và ΔAMC có
AM chung
MB=MC
AB=AC
Do đó: ΔAMB=ΔAMC
b: Ta có; ΔAMB=ΔAMC
=>\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)
mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
=>AM\(\perp\)BC
c: Xét ΔABI vuông tại B và ΔACI vuông tại C có
AI chung
AB=AC
Do đó: ΔABI=ΔACI
=>IB=IC
d: Ta có: IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: ΔABC cân tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên AM là trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,M,I thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm của tia AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với BI.
Gọi giao điểm của 2 tia EC và BI là F, nối FA.
Xét \(\Delta\)BAI và \(\Delta\)FCI có: AI=CI; ^BAI = ^FCI; ^AIB = ^CIF => \(\Delta\)BAI=\(\Delta\)FCI (g.c.g)
=> AB=CF (2 cạnh tương ứng).
Ta có: AB vuông AC; CE vuông AC => AB // CE hay AB // CF
Xét tứ giác ABCF: AB // CF; AB=CF => Tứ giác ABCF là hình bình hành
=> AF // BC. Mà EI vuông BC nên EI vuông AF.
Xét \(\Delta\)AEF: AC vuông EF; EI vuông AF; điểm I thuộc AC => I là trực tâm \(\Delta\)AEF
=> FI vuông AE. Lại có: Tứ giác ABCF là hình bình hành; I là trung điểm đường chéo AC
=> 3 điểm F;I;B thẳng hàng. Vậy khi FI vuông AE thì BI cũng vuông AE (đpcm).
Tam giác ABC vuông cân tại A ,M là 1 điểm trên AC ,I là trung điểm của BM ,N là trung điểm của AC .Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IN căt đường thẳng đi qua C và vuông góc với AC tại E .chứng minh IN=1/2 AEtam giác ABC vuông cân tại A ,M là 1 điểm trên AC ,I là trung điểm của BM ,N là trung điểm của AC .Đường thẳng đi qua A và vuông góc với IN căt đường thẳng đi qua C và vuông góc với AC tại E .chứng minh IN=1/2 AE
Cho tam giác nhọn ABC có AB<AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. ĐƯờng thẳng đi qua C và vuông góc với AC cắt đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB tại điểm K. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AK
a) CHứng minh: BE<CF và \(IM=\dfrac{1}{2}AH\)
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CHứng minh: 3 điểm H, G, I thẳng hàng.
c) CM: \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\)
a) Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BH\perp AC\\KC\perp AC\end{matrix}\right.\) ⇒ \(BH\text{//}KC\)
\(\left\{{}\begin{matrix}CH\perp AB\\BK\perp AB\end{matrix}\right.\) ⇒ \(CH\text{//}BK\)
\(Xét\) \(tứ\) \(giác\) \(BKCH\) \(có:\) \(\left\{{}\begin{matrix}BH\text{//}KC\\CH\text{//}BK\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác \(BKCH\) là hình hình hành. Mà M là trung điểm của đường chéo BC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}H,M,K_{ }thẳng_{ }hàng\\HM=MK\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta AHK\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AI=IK\left(gt\right)\\HM=MK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
⇒ \(IM\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)
⇒ \(IM=\dfrac{1}{2}AH\) \(\left(ĐPCM\right)\)
c)
Ta có:
\(\dfrac{S_{\Delta HBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HD.BC}{\dfrac{1}{2}.AD.BC}=\dfrac{HD}{AD}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HAC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HE.AC}{\dfrac{1}{2}.BE.AC}=\dfrac{HE}{BE}\)
\(\dfrac{S_{\Delta HBA}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.HF.AB}{\dfrac{1}{2}.CF.AB}=\dfrac{HF}{CF}\)
⇒ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{S_{\Delta HBC}+S_{\Delta HAC}+S_{\Delta HAB}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABC}}\)
⇔ \(\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1\) \(\left(ĐPCM\right)\)
cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC . Gọi M là trung điểm của BC . Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại I . a) Chứng minh : tam giác IMB = tam giác IMC . b) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BI cắt BI tại D . Chứng minh AB = DC và AC = DB . c) Biết góc BIC = 120 độ . Tính góc ABC