Lời giải:

Giả sử $M=a^2+5a+7\vdots 9$ với mọi $a$ nguyên.

$\Rightarrow a^2+5a+7\vdots 3$

$\Rightarrow a^2+5a+7-3a-6\vdots 3$

$\Rightarrow a^2+2a+1\vdots 3\Rightarrow (a+1)^2\vdots 3$

$\Rightarrow a+1\vdots 3$

$\Rightarrow a=3k-1$ với $k$ nguyên.

Khi đó:

$M=a^2+5a+7=(3k-1)^2+5(3k-1)+7=9k^2-6k+1+15k-5+7$

$=9k^2+9k+3\not\vdots 9$

Ta có đpcm.

Đề bài sai thì phải. Nếu a lẻ thì biểu thức trên chia hết cho 2.

2- 

Ta có:

a+5b chia hết cho 7

=>10.(a+5b) chia hết cho 7

=>10a+50b chia hết cho 7

Nếu 10a+b chia hết cho 7 thì 10a+50b-(10a+b) bchia hết cho 7

=>49b chia hết cho 7 (đúng)

Vì vậy 10a+b chia hết cho 7

CM điều ngược lại đúng

Ta có:

10a+b chia hết cho 7

=>5.(10a+b) chia hết cho 7

=>50a+5b chia hết cho 7

Nếu a+5b chia hết cho 7 thì (50a+5b)-(a+5b) chia hết cho 7

=>49a chia hết cho 7 (đúng)

Vậy điều ngược lại đúng

Vì a và 5a có tổng các chữ số như nhau 

=> a và 5a có cùng số dư khi chia cho 9 

=> 5a - a chia hết cho 9

=> 4a chia hết cho 9

Mà ƯCLN(4,9) = 1

=> a chia hết cho 9 (đpcm)

\(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

2009^2010đồng dư với 1 (theo mod 2010)

a: \(=\left(4n-7-5\right)\left(4n-7+5\right)\)

\(=\left(4n-12\right)\left(4n-2\right)\)

\(=8\left(n-3\right)\left(2n-1\right)⋮8\)