\(4=2^x+2^y\ge2\sqrt{2^{x+y}}\Rightarrow2^{x+y}\le4\Rightarrow x+y\le2\)

\(\Rightarrow xy\le1\)

\(P=4x^2y^2+2x^3+2y^3+10xy\)

\(P=4x^2y^2+10xy+2\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)

\(P\le4x^2y^2+10xy+4\left(4-3xy\right)=4x^2y^2-2xy+16\)

Đặt \(xy=t\Rightarrow0< t\le1\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^2-2t+16\) trên \((0;1]\)

\(\Rightarrow...\)

Ta có \(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(a+b\right)^4}{8}\). Áp dụng cho biểu thức A, suy ra \(A\ge\dfrac{\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\right)^4}{8}\). Ta tìm GTNN của \(P=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2\). Ta có 

\(P=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+2\)

\(P\ge2\sqrt{x^2.\dfrac{1}{16x^2}}+2\sqrt{y^2.\dfrac{1}{16y^2}}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2}{2}\right)+2\)

    \(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}.\left(\dfrac{4^2}{2}\right)+2\) \(=\dfrac{21}{2}\). Do đó \(P\ge\dfrac{21}{2}\) \(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\). Vậy GTNN của A là \(\dfrac{\left(\dfrac{17}{2}+2\right)^4}{8}\), ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Gợi ý: \(\dfrac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^4\)

lại bị trùng rồi quỳnh ơi , https://olm.vn/hoi-dap/detail/76355556031.html

Câu hỏi của Con Heo - Toán lớp 8 - Học trực tuyến OLM

Làm phần min trước, Max để mai:

Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).

*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)

*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:

\(\ge0\)

P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D

Cách khác đơn giản hơn:

Đặt \(x+y=a;xy=b\Rightarrow a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow2a^2-1=5b\) rồi rút thế các kiểu cho nó thành 1 biến là xong:D (em nghĩ vậy thôi chứ chưa thử)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\)    =>  \(xy\le\frac{1}{3}\)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)=2\left(x+y\right)^2-4xy\ge-4xy\) =>   \(xy\ge-\frac{1}{5}\)

=>  \(-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)

\(P=7.\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right]+4x^2y^2\)

\(=7.\left(\frac{1+xy}{2}\right)^2-10x^2y^2=\frac{-33x^2y^2+14xy+7}{4}\)

đặt  \(t=xy\)

\(P=\frac{-33t^2+14t+7}{4}\)

........................

\(P_{min}=\frac{18}{25}\) tại  \(xy=-\frac{1}{5}\)

\(P_{max}=\frac{70}{33}\)  tại  \(xy=\frac{7}{33}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=a\\y-3=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2=5\)

\(Q=\sqrt{\left(a+5\right)^2+b^2}+\sqrt{\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2\left[\left(a+5\right)^2+b^2+\left(a+3\right)^2+\left(b+4\right)^2\right]}\) (Bunhiacopxki)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+8a+b^2+4b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2.4a+b^2+2.2b+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(a^2+2\left(a^2+4\right)+b^2+2\left(b^2+1\right)+25\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{4\left(3a^2+3b^2+35\right)}\le\sqrt{4\left(3.5+35\right)}=10\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=4\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x+\sqrt{1+x^2}=a\Rightarrow a-x=\sqrt{1+x^2}\Rightarrow a^2-2ax+x^2=1+x^2\)

=> \(a^2-1=2ax\Rightarrow x=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\)

Tương tự, đặt \(y+\sqrt{1+y^2}=b\Rightarrow y=\frac{1}{2}\left(b-\frac{1}{b}\right)\)

=> x+y=\(\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{3}{3a}+\frac{3}{3b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\frac{1}{3}a-\frac{1}{3}b\right)\)(vì ab=3)

=\(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\left(a+b\right)\)

Mà \(\left(a+b\right)^2\ge2ab=6\Rightarrow a+b\ge\sqrt{6}\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b\right)\ge\frac{\sqrt{6}}{3}\)

dấu = xảy ra <=> a=b<=> x=y bạn tự thay vào và tự tìm nhá 

^_^