Question

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \(2^x+2^y=4\). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức \(P=\left(2x^2+y\right)\left(2y^2+x\right)+9xy\)

Answer 1

\(4=2^x+2^y\ge2\sqrt{2^{x+y}}\Rightarrow2^{x+y}\le4\Rightarrow x+y\le2\)

\(\Rightarrow xy\le1\)

\(P=4x^2y^2+2x^3+2y^3+10xy\)

\(P=4x^2y^2+10xy+2\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\)

\(P\le4x^2y^2+10xy+4\left(4-3xy\right)=4x^2y^2-2xy+16\)

Đặt \(xy=t\Rightarrow0< t\le1\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=4t^2-2t+16\) trên \((0;1]\)

\(\Rightarrow...\)