a) Xét ΔDEN vuông tại N và ΔDFM vuông tại M có 

DE=DF(ΔDEF cân tại D)

\(\widehat{EDN}\) chung

Do đó: ΔDEN=ΔDFM(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: DN=DM(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔDEF có 

\(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\left(DM=DN;DE=DF\right)\)

nên MN//EF(Định lí Ta lét đảo)

Xét tứ giác EMNF có MN//EF(Cmt)

nên EMNF là hình thang

mà \(\widehat{MEF}=\widehat{NFE}\)(ΔDEF cân tại D)

nên EMNF là hình thang cân

b) Xét ΔDMH vuông tại M và ΔDNH vuông tại N có

DH chung

DM=DN(cmt)

Do đó: ΔDMH=ΔDNH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

c) Ta có: ΔDMH=ΔDNH(cmt)

nên HM=HN(hai cạnh tương ứng)

Ta có: DM=DN(cmt)

nên D nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: HM=HN(cmt)

nên H nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1) và (2) suy ra DH là đường trung trực của MN

hay DH\(\perp\)MN

Chứng minh được AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, từ đó IE = IF.

ta có:

Hình tự vẽ nha.

Lời giải:

+ Xét\(\Delta AHB\)và\(\Delta AKC\)có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^0\)

\(AB=AC\)(Do\(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\)

Do đó:\(\Delta AHB=\Delta AKC\)(g-c-g)

\(\Rightarrow AH=AK\)

\(\Rightarrow\Delta AHK\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AKH}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)

Mà\(\widehat{ABC}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Do\(\Delta ABC\)cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow HK//BC\)

+Xét tứ giác BCKH có\(HK//BC\)

=> BCHK là hình thang

Mà\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(Do\(\Delta ABC\)cân tại A)

=> BCHK là hình thang cân (đpcm)

Vậy BCHK là hình thang cân

Chứng minh DBKC = DCHB (ch-gnh)

Suy ra CK = BH & AK = AH

A K H ^ = 180 0 − K A H ^ 2 = A B C ^    h a y   K H / / B C .

Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có

AB=AC
góc A chung

Do đó: ΔABH=ΔACK

Suy ra: AH=AK

Xét ΔABC có AH/AC=AK/AB

nên HK//BC

=>BKHC là hình thang

mà BH=CK

nên BKHC là hình thang cân

Bài 6: 

Xét ΔBAC có BA=BC

nên ΔBAC cân tại B

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

mà \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)

nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\)

hay CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

Bài 3: 

Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

CD chung

AD=BC

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Xét ΔODC có \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

nên ΔODC cân tại O

Suy ra: OD=OC

Ta có: AO+OC=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB

Bài 2: 

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có 

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK và HB=KC

Xét ΔABC có

\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{HC}\)

Do đó: KH//BC

Xét tứ gác BKHC có KH//BC

nên BKHC là hình thang

mà KC=BH

nên BKHC là hình thang cân

Bài 2: 

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có 

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\)

Do đó: HK//BC

Xét tứ giác BCHK có HK//BC

nên BCHK là hình thang

mà HB=KC(ΔAHB=ΔAKC)

nên BCHK là hình thang cân

Bài 3: 

Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

CD chung

AD=BC

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Xét ΔODC có \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

nên ΔODC cân tại O

Suy ra: OD=OC

Ta có: AO+OC=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB