\(\left(1+a+b+c\right)^2\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
chứng minh bất đẳng thức trên
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. \(\frac{3}{a+b}+\frac{2}{c+d}+\frac{a+b}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}\ge\frac{12}{a+b+c+d}\)
2. \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{-a+b+c}+\frac{\left(c+a\right)^2}{a-b+c}\ge4.\left(a+b+c\right)\)
Sử dụng bất đẳng thức cô-si. Chứng minh bất đẳng thức \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
Lời giải:
Bổ sung điều kiện $a,b$ là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$a+b\geq 2\sqrt{ab}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$
$\Rightarrow (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức: \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(a,b,c>0\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\\ \ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\cdot3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=9\\ \Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
Đúng 1
Bình luận (0)
áp dụng bất đẳng thức cô si chứng minh các bất đẳng thức:
a, (a+b+c)*(a^2+b^2+c^2)>=9abc
b,\(\left(1+a\right)\cdot\left(1+b\right)\cdot\left(1+c\right)>=\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
c, a^2*(1+b^2)+b^2*(1+c^2)+c^2(1+a^2)>=6abc
>=: lớn hơn hoặc bằng
Cho hỏi chút: Mình đã biết là có hai bất đẳng thức đúng \(\forall a,b,c\ge0:\)
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)và \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
Vậy thì có dạng tổng quát không?
không đâu cá tiền luôn 500 đồng lun sợ gì :))))) đùa thui ko có đâu nhé
chứng minh bất đẳng thức:
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
Ta có: \(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Ta lại có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
=> \(A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
=> \(A\ge4\) => đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Xét A , ta thấy
\(A=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân , ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\Rightarrow A=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2+2=4\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge_{\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)^2}{4\left(a+b+c\right)^3}}\)Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức trên luôn đúng
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)\forall a,b,c\in R\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (1)
\(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6=\left(a^8-a^6b^2\right)+\left(b^8-a^2b^6\right)=a^6\left(a^2-b^2\right)+b^6\left(b^2-a^2\right)=\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\) nên suy ra được như vậy Quỳnh Anh
Đúng 0
Bình luận (1)