Gợi ý : n^2 - 2n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 

Vì n chia hết cho 2 => n có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8 

Xét từng TH và lập luận để bớt TH cần xét 

Chữ số tận cùng của n là 0 hoặc 2

11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

2/

a/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}⋮2\) => b chẵn

\(\overline{bb}:5\) dư 2 => b={2;7}

Do b chẵn => b=2

Số cần tìm \(\overline{bb}=22\)

b/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bbb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}:2\)  dư 1 => b lẻ

\(\overline{bbb}⋮5\)  => b={0;5}

Do b lẻ => b=5

Số cần tìm \(\overline{bbb}=555\)

c/

Gọi số cần tìm là \(\overline{bb}\)

Theo đề bài \(\overline{bb}:5\) dư 1 => b={1;6}

\(\overline{bb}⋮3\Rightarrow b+b=2b⋮3\Rightarrow b⋮3\)

=> b=6

Số cần tìm là \(\overline{bb}=66\)

1/

a/

\(\dfrac{3n+1}{n-1}=\dfrac{3\left(n-1\right)+4}{n-1}=3+\dfrac{4}{n-1}\)

\(\left(3n+1\right)⋮\left(n-1\right)\) khi \(4⋮\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\Rightarrow n=\left\{-3;-1;0;2;3;5\right\}\)

b/

\(\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow2\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\)

\(\dfrac{2\left(n-3\right)}{2n-1}=\dfrac{2n-6}{2n-1}=\dfrac{\left(2n-1\right)-5}{2n-1}=1-\dfrac{5}{2n-1}\)

\(2\left(n-3\right)⋮\left(2n-1\right)\) khi \(5⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left(2n-1\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-2;0;1;3\right\}\)

n chia hết cho 2

=>n có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8

=>n=10k; n=10k+2;n=10k+4;n=10k+6;n=10k+8

Đặt \(A=n^2-2n\)

\(=n\left(n-2\right)\)

TH1: n=10k

\(A=n\left(n-2\right)=10k\left(10k-2\right)⋮5\)

=>Nhận

TH2: n=10k+2

=>\(A=n\left(n-2\right)=\left(10k+2\right)\left(10k+2-2\right)=10k\left(10k+2\right)⋮5\)

=>Nhận

TH3: n=10k+4

\(A=n\left(n-2\right)\)

\(=\left(10k+4\right)\left(10k+4-2\right)\)

\(=\left(10k+4\right)\left(10k+2\right)\) không chia hết cho 5

=>Loại

TH4: n=10k+6

A=n(n-2)

=(10k+6)(10k+6-2)

=(10k+6)(10k+4) không chia hết cho 5

=>Loại

Th5: n=10k+8

A=n(n-2)

=(10k+8)(10k+8-2)

=(10k+8)(10k+6) không chia hết cho 5

=>Loại

Vậy: n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 2

n chia hết cho 2

=>n có chữ số tận cùng là 0;2;4;6;8

=>n=10k; n=10k+2;n=10k+4;n=10k+6;n=10k+8

Đặt A = n 2 − 2 n = n ( n − 2 ) TH1: n=10k A = n ( n − 2 ) = 10 k ( 10 k − 2 ) ⋮ 5

=>Nhận 

TH2: n=10k+2

=> A = n ( n − 2 ) = ( 10 k + 2 ) ( 10 k + 2 − 2 ) = 10 k ( 10 k + 2 ) ⋮ 5

=>Nhận

TH3: n=10k+4

A = n ( n − 2 ) = ( 10 k + 4 ) ( 10 k + 4 − 2 ) = ( 10 k + 4 ) ( 10 k + 2 ) không chia hết cho 5

=>Loại TH4: n=10k+6 A=n(n-2) =(10k+6)(10k+6-2) =(10k+6)(10k+4) không chia hết cho 5

=>Loại

Th5: n=10k+8 A=n(n-2) =(10k+8)(10k+8-2) =(10k+8)(10k+6) không chia hết cho 5

=>Loại

Vậy: n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 2

a) 2n+1⋮n-3

2n-6+7⋮n-3

2n-6⋮n-3 ⇒7⋮n-3

n-3∈Ư(7)

Ư(7)={1;-1;7;-7}

⇒n∈{4;2;10;-4}

mn mn ơiii

helllppppppppp

\(2,\\ 3^{n-3}+2^{n-3}+3^{n+1}+2^{n+2}\\ =3^{n-3}\left(1+3^4\right)+2^{n-3}\left(1+2^5\right)\\ =3^{n-3}\cdot82+2^{n-3}\cdot33\)

Vì \(3^{n-3}\cdot82⋮2;⋮3\) nên \(3^{n-3}\cdot82⋮6\)

\(2^{n-3}\cdot33⋮2;⋮3\) nên \(2^{n-3}\cdot33⋮6\)

Do đó tổng trên chia hết cho 6 với mọi \(n\in N\)

3.a)n và 2n có tổng các chữ số bằng nhau => hiệu của chúng chia hết cho 9

mà 2n-n=n=>n chia hết cho 9 => đpcm

câu 1 bạn châu sai rồi