......................?

mik ko biết

mong bn thông cảm 

nha ................

Ta có : \(\left(x-1\right)f\left(x\right)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x-1}\)            (1) 

Thay x bởi \(\frac{1}{x}\)thì đẳng thức thành : 

\(\left(\frac{1}{x}-1\right)f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(x\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}-1}\)

Hay : \(\frac{1-x}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(x\right)=\frac{x}{1-x}\)         (2) 

Nhân \(\frac{1-x}{x}\)vào hai vế của (1), ta được : 

\(\frac{-x^2+2x-1}{x}f\left(x\right)+\frac{1-x}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}\)  (3) 

Lấy (2) trừ đì (3) theo từng vế, ta được : 

 \(\left[1-\frac{-x^2+2x-1}{x}\right]f\left(x\right)=\frac{x}{1-x}+\frac{1}{x}\)

Suy ra :  \(f\left(x\right)=\frac{1}{1-x}\)

Gửi bạn

Hướng dẫn: Đặt: \(X=\frac{3x+1}{x+2}\)

=> \(X=\frac{3x+1}{x+2}=\frac{3x+6-5}{x+2}=3-\frac{5}{x+2}\)

=> \(\frac{5}{x+2}=3-X\Rightarrow x=\frac{5}{3-X}-2\)

=> \(f\left(X\right)=\frac{\frac{5}{3-X}-2}{\frac{5}{3-X}-1}=\frac{2X-1}{X+2}\)

Vậy hàm số f(x) có dạng: \(f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+2}\)

p/s: chú ý điều kiện

\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)

Lấy nguyên hàm hai vế

\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)

Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)

\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)

Chọn D