ơi STN = số thứ nhất 

      STH = SỐ THỨ 2 NHÉ

       STB = SỐ THỨ 3 NHA

Chứng minh rằng nếu \(x>0\)thì \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}>0\):

Ta có : \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}>0\Rightarrow\frac{1}{x}>\frac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow x+1>x\)(đúng)

Học tốt

\(x^4+x^3+\frac{x^2}{4}+\frac{3x^2}{4}+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}\right)+\frac{2}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{2}{3}=0\)

Vế trái luôn dương nên pt vô nghiệm

Ta có:

x^4 +x^3+x^2+x+1=0(1)

=> (x-1).(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

<=> x^5-1=0

<=>x^5=1

<=>x=1

Thử lại ta thấy x=1 không là nghiệm của phương trình (1) nên (1) vô nghiệm

Ta có:

x^4 +x^3+x^2+x+1=0(1)

=> (x-1).(x^4+x^3+x^2+x+1)=0

<=> x^5-1=0

<=>x^5=1

<=>x=1

Thử lại ta thấy x=1 không là nghiệm của phương trình (1) nên (1) vô nghiệm

a,a+b+c=0 <=>c=-a-b

Khi đ f(x)=ax^2+bx-a-b

f(x)=a(x^2-1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)

=>f(x) có nghiệm x=1

b,a-b+c=0 <=>c=b-a

Khi đó f(x)=ax^2+bx+b-a

f(x)=a(x^2-1)+b(x+1)=(x+1)(ax-a+b)

=>f(x) có nghiệm x=-1

a. Ta có: \(f\left(1\right)=a.1^2+b.1+c\)

\(f\left(1\right)=a+b+c\)

Mà theo đề bài có a+b+c=0

=>\(f\left(1\right)=0\)

x=1 là một nghiệm của đa thức f(x)

Phần b bạn làm tương tự nhé

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(1-x\right)^2\ge0\\\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-z\right)^2\ge0\end{cases}\forall x\inℝ}\)

\(\Rightarrow VT=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x=0\\x-y=0\\y-z=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\1-y=0\Rightarrow y=1\\1-z=0\Rightarrow z=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\left(đpcm\right)\)

P/s: VT: vế trái

Cho phương trình \(x^3-x-1=0\). Giả sử x₀ là một nghiệm của phương trình đã cho.

a)Chứng minh rằng x₀>0

b)Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{x_0^2-1}{x_{0^3}}.\sqrt{2x^2_0+3x_0+2}\)

\(f\left(x_0\right)=ax_0^2+bx_0+c=0\)

\(g\left(\frac{1}{x_0}\right)=c.\left(\frac{1}{x_0}\right)^2+b.\frac{1}{x_0}+a=\frac{c+bx_0+ax_0^2}{x_0^2}=\frac{0}{x_0^2}=0\left(đpcm\right)\)

Lời giải:
xf(x+1)−(x+2)f(x)=0xf(x+1)−(x+2)f(x)=0

Thay x=0:0f(1)−2f(0)=0x=0:0f(1)−2f(0)=0

⇒f(0)=0(1)⇒f(0)=0(1)

Thay x=−2x=−2: −2f(−1)−0.f(−2)=0 Ta có: −2f(−1)−0.f(−2)=0

⇒f(−1)=0(2)⇒f(−1)=0(2)

Từ (1);(2)(1);(2) suy ra x=0;x=−1x=0;x=−1 là nghiệm của đa thức f(x)f(x)

=> Đa thức f(x)f(x) có ít nhất 2 nghiệm 

=>Đpcm