Chứng minh rằng: \(a+\frac{1}{a}\ge\frac{10}{3}\left(a\ge3\right)\)
(mình mới biết đến olm đăng một câu chơi)
CMR:\(a+\frac{1}{a}\ge\frac{10}{3}\left(a\ge3\right)\)
Giúp mình với ạ!
Chả biết đúng hay sai. Làm bừa! =(((
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi a = 3
Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{9}\right)+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{1a}{9a}}+\frac{8a}{9}\) (BĐT AM-GM)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8a}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8a}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}^{\left(đpcm\right)}\) (do \(a\ge3\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=3\)
Cách khác (không chắc)
Đặt a = 3 + m (\(m\ge0\))
Ta có: \(VT=3+m+\frac{1}{3+m}\ge3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\) (do \(m\ge0\))
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a+b+4c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b+c+4a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c+a+4b}{c+a}}\ge3\sqrt{3}.\)
Bài 2:Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2b}{bc+1}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{2c}{ca+1}\right)^2}\ge3.\)
Giúp mình với! Mình cần gấp.
1)
Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\sqrt{3\left(a+b\right)\left(a+b+4c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{\frac{3\left(a+b\right)+\left(a+b+4c\right)}{2}}=\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{3}\left(a+b+4c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
2)
\(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}=\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\sqrt[3]{2a\left(ab+1\right)^2}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{2a}{\frac{2a+\left(ab+1\right)+\left(ab+1\right)}{3}}=3\Sigma_{cyc}\frac{a}{ab+a+1}\)
Ta có bổ đề: \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\left(abc=1\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(\frac{2a}{ab+1}\right)^2}\ge3\)
Chứng minh rằng: \(21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)\forall a\ge3,b\ge3\)
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Biết a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a) \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)
b)\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9abc}\)
Chứng minh rằng: \(\left(a+\frac{1}{b}\right).\left(b+\frac{1}{c}\right).\left(c+\frac{1}{a}\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^2\)với a,b,c >0 và a+b+c=1.
Nhầm rồi nhé, thay a=b=c=1/3 thì phải ra là (10/3)^3 chứ
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)
\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
4c,
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)
Cho a,b,c>0. Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) và \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{10}{3}\)
1 ) (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ac)
<=> a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ac
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ac
<=> a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + a^2 - 2ac + c^2 >= 0
<=> (a - b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 >= 0
( luôn đúng với mọi a ; b ; c )
( đpcm )
2 ) P = \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}+\frac{ab+bc+ac}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{9\left(ab+bc+ac\right)}\)
AD BĐT Cô - si và BĐT phụ đã cmt ở trên ta có : \(P\ge2.\frac{1}{3}+\frac{8.3.\left(ab+bc+ac\right)}{9\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a = b = c
Khôi Bùi : theo e ý 2 có thể đơn giản hóa vấn đề bằng cách đặt ẩn phụ
đặt \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=t\left(t\ge3\right)\)
\(\Rightarrow P=t+\frac{1}{t}=\frac{t}{9}+\frac{1}{t}+\frac{8}{9}t\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}}+\frac{8}{9}t\ge\frac{2.1}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b
Chứng minh rằng :
\(21\left(a+\frac{1}{b}\right)+3\left(b+\frac{1}{a}\right)\ge80\) \(\forall x\ge3,b\ge3\)
Ta có:
\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và \(a=3\Leftrightarrow a=3\)
\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và \(b=3\Leftrightarrow b=3\)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)
Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\(\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3abc\) (*)
đặt \(\left(\sqrt{ab};\sqrt{bc};\sqrt{ca}\right)=\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(xyz\le\frac{1}{27}\)
(*) \(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge\left(\frac{10}{3}\right)^3xyz\)
\(VT\ge\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\)
Có \(xy+1\ge10\sqrt[10]{\frac{xy}{9^9}}\)
Tương tự với \(yz+1\)\(;\)\(zx+1\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\)
Ta cần CM \(10^3\sqrt[10]{\frac{\left(xyz\right)^2}{9^{27}}}\ge\frac{10^3}{3^3}xyz\) đúng với \(xyz\le\frac{1}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)\)
Vì a+b+c=1 nên
\(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{c}\right)\left(c+\frac{1}{a}\right)=abc+\frac{1}{abc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\)
Từ BĐt Cosi cho 3 số dương ta có:
\(\frac{1}{3}=\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le\frac{1}{27}\)
đặt x=abc thì \(0< x\le\frac{1}{27}\)
do đó: \(x+\frac{1}{x}-27-\frac{1}{27}=\frac{\left(27-x\right)\left(1-27x\right)}{27x}\ge0\)
=> \(x+\frac{1}{x}=abc+\frac{1}{abc}\ge27+\frac{1}{27}=\frac{730}{27}\)
Mặt khác: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Nên \(P\ge\frac{730}{27}+10=\frac{1000}{27}=\left(\frac{10}{3}\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c\(=\frac{1}{3}\)