1.

\(x^2+3x+5=\left(x+1\right)\left(x+2\right)+3\)

Tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia 7 chỉ có các số dư 2, 5, 6 nên \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)+3\) ko chia hết cho 7 với mọi x

2.

\(x^4+x^2+8=x^2\left(x^2+1\right)+8\)

Tích 2 tự nhiên liên tiếp chia 11 chỉ có các số dư 1, 2, 6, 8, 9 nên \(x^2\left(x^2+1\right)+8\) ko chia hết cho 11 với mọi x

1.Ta có x^2 + 3x + 5 ⋮ 7 <=> x^2 - 4x + 5 - 7x ⋮ 7

<=> x^2 - 4x + 4 + 1 ⋮ 7 <=> (x-2)^2 + 1  ⋮ 7

<=> (x-2)^2 : 7 dư 6

Mà (x-2)^2 là số CP => (x-2)^2 : 7 dư 1,4,2

=> Vô lí. Vậy n ∈ ∅

2.Ta có x^4 + x^2 + 8 ⋮ 11 <=> x^4 + x^2 : 11 dư 3

<=> x^2(x^2+1) : 11 dư 3

Mà x^2(x^2+1) là 2 số nguyên dương liên tiếp

=> x^2(x^2+1) : 11 dư 2,6,1,9,8

=> Vô lí. Vậy n ∈ ∅

\(x^2+x+1\) là số chính phương

\(\Rightarrow x^2+x+1=k^2\)

\(\Rightarrow4x^2+4x+1+3=4k^2\)

\(\Rightarrow4k^2-\left(2x+1\right)^2=3\)

\(\Rightarrow\left(2k+2x+1\right)\left(2k-2x-1\right)=3\)

Phương trình ước số cơ bản, bạn tự giải

\(M=\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}.\left(\frac{1}{1-\sqrt{x}}-1\right)\)

\(M=\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)  \(+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(M=\frac{3x+3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) \(+\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(M=\frac{3x+3\sqrt{x}-3-x+1+x-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(M=\frac{3x+3\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(M=\frac{3\left(x+\sqrt{x}-2\right)}{x+\sqrt{x}-2}\)

\(M=3\)

b) \(\sqrt{x}=M\)

\(\Leftrightarrow x=M^2\)

thay vào ta có: 

\(x=3^2\)

\(x=9\)

c) \(M=3\in N\)

\(\Rightarrow x=3\)

d) \(M>1\Leftrightarrow x>1\)

\(\frac{1}{1-\sqrt{x}}-1\)sao bằng\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)đc

a: Ta có: \(M=\dfrac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\dfrac{x+1}{x}-\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{2-x^2}{x^2-x}\right)\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}:\dfrac{x^2-1+x+2-x^2}{x\left(x-1\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\cdot\dfrac{x\left(x-1\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2}{x-1}\)

b: Để M>1 thì M-1>0

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+1}{x-1}>0\)

\(\Leftrightarrow x-1>0\)

hay x>1

a) ĐKXĐ: x # 0; x # 1; x# -1

M = (x^2)/(x-1)

b) x > 1

x-3=t^2

​N dương=>t>0

​N=(t^2+3)/t=t+3/t

​t={,1 ,3)

​=>x={4}

​

​

​

​N=(|k|+1|/(|k|-1

​

​

\(N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}+3}\)

Để N thuộc N

\(\Rightarrow4⋮\sqrt{x}-3\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-3\in\left(1;-1;2;-2;4;-4\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left(4;2;5;1;7;-1\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left(4;1\right)\)

\(\Rightarrow x\in\left(2;-2;1;-1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^3-x⋮x^2-2\)

\(\Leftrightarrow-x^3+2x-3x⋮x^2-2\)

\(\Leftrightarrow-3x^2⋮x^2-2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\)

hay \(x\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)