Bạn học định lí BéZout chưa

Bài 1:

\(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\dfrac{x^3-9x+5x^2-45}{x^2-9}\)

\(=\dfrac{x\left(x^2-9\right)+5\left(x^2-9\right)}{x^2-9}=x+5\)

=>f(x) chia hết cho g(x)

Thực hiện phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) ta được

\(x^4-9x^3+21x^2+x+a=\left(x^2-x-2\right)\left(x^2-8x+15\right)+a+30\)

Do đó dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(g\left(x\right)\) là \(a+30\).

a) Với \(a=-100\) dư của phép chia đa thức \(f\left(x\right)\) và \(g\left(x\right)\) là \(-100+30=-70\).

b) Để \(f\left(x\right)\) chia hết cho \(g\left(x\right)\) thì \(a+30=0\Leftrightarrow a=-30\).

Huyền hỏi 2 bài liên tiếp à viết nhanh thế

Các dạng bài này đc giải rất nhiều sao bạn ko coi thế?

600000000<1

Cho mình xin cách làm đi

Nó là định lí Bézout đấy bạn ^^

Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Chứng minh : Theo định lí cơ bản ta có : f(x) = ( x - a ).P(x) + R(x) (1)

Ở đây, g(x) = x - a có bậc là bậc nhất mà bậc của dư R(x) phải nhỏ hơn bậc của g(x), vậy R(x) phải là một hằng số, thay x = a trong đẳng thức (1) ta có : f(a) = ( a - a ).P(a) + R => R = f(a)

Hệ quả : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

Ta dùng hệ quả của định lí Bézout để phân tích đa thức thành nhân tử khi đã biết một nghiệm

1. 2x³ + 4x² + 5x + 3 

= 2x³ + 2x² + 2x² + 2x + 3x + 3

= 2x²( x + 1 ) + 2x( x + 1 ) + 3( x + 1 )

= ( x + 1 )( 2x² + 2x + 3 )

=> ( 2x³ + 4x² + 5x + 3 ) : ( x + 1 ) = 2x² + 2x + 3

2.a) 2x³ - 3x² + x + a chia hết cho x + 2

Ta có đa thức chia có bậc 3, đa thức bị chia có bậc 1

=> Thương bậc 2

Lại có hệ số cao nhất là 2 nên đặt đa thức thương là 2x² + bx + c

=> 2x³ - 3x² + x + a chia hết cho x + 2 

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = ( x + 2 )( 2x² + bx + c )

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = 2x³ + bx² + cx + 4x² + 2bx + 2c

⇔ 2x³ - 3x² + x + a = 2x³ + ( b + 4 )x² + ( c + 2b )x + 2c

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}b+4=-3\\c+2b=1\\2c=a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-7\\c=15\\a=30\end{cases}}\)

Vậy a = 30

b) x² - 3x + 3 chia x - a được thương là x + 3 dư 21

=> x² - 3x + 3 = ( x - a )( x + 3 ) + 21

⇔ x² - 3x + 3 - 21 = x² + 3x - ax - 3a

⇔ x² - 3x - 18 = x² + ( 3 - a )x - 3a

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}3-a=-3\\-3a=-18\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)

Vậy a = 6

c) Tí mình gửi link nhé

c) https://imgur.com/TzbHKPG

Bạn chịu khó đánh máy tí nhé ;-;

\(x^2-5x+6=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

Giả sử \(f\left(x\right)\) chia cho \(x^2-5x+6\) được thương là\(Q\left(x\right)\)  và dư \(ax+b\)

=> \(f\left(x\right)=Q\left(x\right).\left(x-2\right)\left(x-3\right)+ax+b\)

Có \(f\left(x\right)\) chia cho x - 3 dư 7 ; chia cho x - 2 dư 5

=> \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(3\right)=7\\f\left(2\right)=5\end{matrix}\right.\) 

=> \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b=7\\2a+b=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

=> \(f\left(x\right)\)chia cho \(x^2-5x+6\) dư 2x + 1

Giả sử đa thức bị chia là m (x)

Gia sử  thương là : q( x )

Vì đa thức chia có bậc là 2 , Suy ra thương có bậc là 1

Suy ra , ta có : m( x ) =( x² - 5x + 6 )                 q( x ) = ax + b

Đi tìm X

x² - 5x + 6 = 0 

x² - 2x - 3x + 6 = 0

 x( x - 2) - 3(x - 2) = 0

 ( x - 2)( x - 3) = 0

Vậy  x = 2 hoặc x = 3

Ta có  giả thiết f( x ) chia cho x - 2 dư 5 ,từ đó ta được :

f( 2 ) = 5 

-> 2a + b = 5 ( 1)

Ta lại có giả thiết f( x ) chia cho x - 3 dư 7 ,Từ đó  ta được :

f( 3 ) = 7

-> 3a + b = 7 ( 2)

Từ ( 1  và  2) suy ra : a = 2 ; b = 1

Suy ra : f( x ) = ( x² - 5x + 6 )      Thay số  q( x ) = 2x + 1

Vậy dư là 2x +1