Lời giải:
Gọi PTĐT $(d)$ có dạng $ax+by+c=0$

Vì $A\in (d)$ nên $a.1+b.1+c=a+b+c=0(1)$

VTPT của $(d)$ là $(a,b)$. VTPT của $(\Delta)$ là $(-1,5)$

Góc giữa $(d)$ và $(\Delta)$:

\(\cos 45^0=\frac{|-a+5b|}{\sqrt{(-1)^2+5^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-a+5b|}{\sqrt{26(a^2+b^2)}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

$\Rightarrow 12a^2=12b^2-10ab$
$\Leftrightarrow 6a^2-6b^2+5ab=0$
$\Leftrightarrow (3a-2b)(2a+3b)=0$
$\Rightarrow 3a=2b$ hoặc $2a+3b=0$

Nếu $a=\frac{2}{3}b$ thì:

$ax+by+c=\frac{2}{3}bx+by+(-a-b)=\frac{2}{3}bx+by-\frac{5}{3}b=0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3}x+y-\frac{5}{3}=0$ 

$\Leftrightarrow 2x+3y-5=0$ 

Đây là 1 PT cần tìm 

TH $a=\frac{-3b}{2}$ làm tương tự.

a.

Do d vuông góc với \(\Delta\) nên d nhận \(\left(1;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x+1\right)-3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-3y+4=0\)

b.

\(M\in d\) mà \(MH\perp\Delta\Rightarrow\) H là giao điểm của d và \(\Delta\)

Tọa độ H là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y+4=0\\3x+y-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(2;2\right)\)

c.

M' đối xứng với M qua \(\Delta\) khi và chỉ khi H là trung điểm MM'

Theo công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=2x_H-x_M=5\\y_{M'}=2y_H-y_M=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M'\left(5;3\right)\)

Tại sao lại đổi từ (3; 1) sang (1; -3 ) vậy ạ? Denlta có dạng pttq thì có vtpt và đường thẳng d cũng vuông góc với denlta rồi mà?

\(y=x^3-3x^2+2x+2\Rightarrow y'=3x^2-6x+2\)

Vi \(\Delta\perp d:y=x-3\Rightarrow y'=-1\Leftrightarrow3x^2-6x+2=-1\)

\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1-3+2+2=2\)

\(\Rightarrow\Delta:y=-1\left(x-1\right)+2\)

1. Gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow\) d' nhận (1;3) là 1 vtpt

Phương trình d':

\(1\left(x+2\right)+3\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x+3y-4=0\)

H là giao điểm d và d' nên tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+3y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{4}{5}\\y=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(-\dfrac{4}{5};\dfrac{8}{5}\right)\)

2.

Do A' đối xứng A qua d nên H là trung điểm AA'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=2x_H-x_A=\dfrac{2}{5}\\y_{A'}=2y_H-y_A=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A'\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\right)\)

3.

Gọi B là giao điểm d và \(\Delta\) thì tọa độ B thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y+4=0\\x+2y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{7};\dfrac{19}{7}\right)\)

Lấy điểm \(C\left(0;4\right)\) thuộc d

Phương trình đường thẳng \(d_1\) qua C và vuông góc \(\Delta\) có dạng:

\(2\left(x-0\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)

Gọi D là giao điểm \(\Delta\) và \(d_1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(-\dfrac{3}{5};\dfrac{14}{5}\right)\)

Gọi D' là điểm đối xứng C qua \(\Delta\Rightarrow\) D là trung điểm CD'

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{D'}=2x_D-x_C=-\dfrac{6}{5}\\y_{D'}=2y_D-y_C=\dfrac{8}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BD'}=\left(-\dfrac{27}{35};-\dfrac{39}{35}\right)=-\dfrac{3}{35}\left(9;13\right)\)

Phương trình đường thẳng đối xứng d qua denta (nhận \(\left(9;13\right)\) là 1 vtcp và đi qua D':

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{6}{5}+9t\\y=\dfrac{8}{5}+13t\end{matrix}\right.\)

4.

Gọi \(d_1\) là đường thẳng đối xứng với d qua A

\(\Rightarrow d_1||d\Rightarrow d_1\) có dạng: \(3x-y+c=0\)

Do A cách đều d và \(d_1\) nên:

\(d\left(A;d\right)=d\left(A;d_1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-3+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|c-9\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\left(loại\right)\\c=14\end{matrix}\right.\)

Vậy pt \(d_1\) có dạng: \(3x-y+14=0\)

Em tự chuyển sang 2 dạng còn lại

Đường tròn (C) tâm \(O\left(2;3\right)\) bán kính \(R=10\)

Gọi I là trung điểm AB \(\Rightarrow IO\perp AB\) 

\(\Rightarrow IO=d\left(O;AB\right)=\dfrac{\left|3.2-4.3+1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(IA=\sqrt{OA^2-OA^2}=\sqrt{100-1}=3\sqrt{11}\)

\(\Rightarrow AB=2IA=6\sqrt{11}\)

1.

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;2\right);\overrightarrow{AC}=\left(1;-5\right);\overrightarrow{CB}=\left(2;7\right)\)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB; AC; BC

\(\Rightarrow M\left(\frac{7}{2};2\right);N\left(\frac{5}{2};-\frac{3}{2}\right);P\left(4;-\frac{1}{2}\right)\)

Trung trực AB vuông góc AB và đi qua M nên nhận \(\left(3;2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình: \(3\left(x-\frac{7}{2}\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow3x+2y-\frac{29}{2}=0\)

Trung trực AC vuông góc AC và đi qua N nên có pt:

\(1\left(x-\frac{5}{2}\right)-5\left(y+\frac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow...\)

Trung trực BC vuông góc BC và đi qua P:

\(2\left(x-4\right)+7\left(y+\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow...\)

2.

Denta và d lần lượt nhận \(\left(m-1;2\right)\) và \(\left(2;m-1\right)\) là vtpt

Để denta và d song song

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-1\right)=2.2\) (nghĩa là \(ad=bc\) ấy)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-1\end{matrix}\right.\)

3.

D1 và d2 lần lượt nhận \(\left(m;1\right)\) và \(\left(1;-1\right)\) là các vtpt

Để d1 vuông góc d2

\(\Leftrightarrow m.1+1\left(-1\right)=0\) (tích vô hướng 2 vtpt bằng 0)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Gọi tâm đường tròn là \(I\left(a;b\right)\Rightarrow4a+3b-2=0\) (1)

Do \(\left(I\right)\) tiếp xúc với cả \(d_1\) và \(d_2\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left|a+b+4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|7a-b+4\right|}{\sqrt{7^2+\left(-1\right)^2}}\Rightarrow\sqrt{50}\left|a+b+4\right|=\sqrt{2}\left|7a-b+4\right|\)

\(\Rightarrow5\left|a+b+4\right|=\left|7a-b+4\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5\left(a+b+4\right)=7a-b+4\\5\left(a+b+4\right)=-7a+b-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-3b-8=0\\3a+b+6=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a-3b-8=0\) kết hợp với (1) ta được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}4a+3b-2=0\\a-3b-8=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;-2\right)\)

\(\Rightarrow R^2=\frac{\left(a+b+4\right)^2}{\left(1^2+1^2\right)}=8\Rightarrow\) pt đường tròn: \(\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=8\)

TH2: \(3a+b+6=0\) kết hợp (1) được hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+b+6=0\\4a+3b-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-4\\b=6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-4;6\right)\)

\(\Rightarrow R^2=\frac{\left(a+b+4\right)^2}{1^2+1^2}=18\) \(\Rightarrow\) pt đường tròn: \(\left(x+4\right)^2+\left(y-6\right)^2=18\)

(C) có tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\Delta//d\Rightarrow\) phương trình \(\Delta\) có dạng: \(3x-4y+c=0\)

Áp dụng định lý Pitago: \(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{\left|3.1-4.1+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1\Leftrightarrow\left|c-1\right|=5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=6\\c=-4\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x-4y+6=0\\3x-4y-4=0\end{matrix}\right.\)

Nhờ mọi người giúp đỡ...