Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: 

\(VT=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-xz}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)

\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)

Cần chứng minh \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{xz}}{4-xz}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{xz}}{xz\left(4-xz\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)

Cauchy-Schwarz: \(\left(x+y+z\right)^2\ge\left(1+1+1\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\)

Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{xz}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c\left(4-c^2\right)}\ge1\left(\odot\right)\)

Ta có BĐT phụ: \(\dfrac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}\le-\dfrac{1}{9}a+\dfrac{4}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-1\right)^2\left(a^2-2a-9\right)}{9a\left(a-2\right)\left(a+2\right)}\le0\forall0< a\le1\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế

\(VT_{\left(\odot\right)}\ge\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{9}+\dfrac{4}{9}\cdot3\ge\dfrac{-3}{9}+\dfrac{12}{9}=1=VP_{\left(\odot\right)}\)

Dấu "=" <=> x=y=z=1

em là pô pô nê người con của Thái Nguyên

Bài này có nhiều cách làm. Cách khác:

Gọi vế trái của BĐT là P. Khi đó biến đổi P như sau:

\(P=\left(\frac{x^2}{4-yz}+\frac{y^2}{4-xz}+\frac{z^2}{4-yx}\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{4-yz}+\frac{1}{4-xz}+\frac{1}{4-yx}\right)\)

Theo BĐT Bunhiacopsky dạng phân thức ta có:

\(\frac{x^2}{4-yz}+\frac{y^2}{4-xz}+\frac{z^2}{4-yx}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(\frac{1}{4-yz}+\frac{1}{4-xz}+\frac{1}{4-yx}\ge\frac{9}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\)

Do đó ta được:

\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{12-\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{9\left(x^2+y^2+z^2\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{9\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\ge\frac{12\left(xy+yz+xz\right)}{12-\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{36\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{12-3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)

đặt \(\sqrt[3]{xyz}=t\le\frac{x+y+z}{3}=1\). Khi đó ta có:

\(\frac{36t^2}{12-3t^2}-4t^3\Leftrightarrow12t^2\left(t-1\right)\left(t^2+t-3\right)\ge0\)

Đánh giá BĐT cuối cùng luôn đúng. BĐT được chứng minh xong

toán lớp mấy v 

1hay 23456789

ko lam thi thoi chui cl ay!!!

đù , chuyện giề đang xảy ra vậy man

bọn bay ngáo quá rùi  hút cần à chửi tục hơn thánh mé chửi nữa cho phai nick hét bây giờ ,ko tao số má lun 

+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)

+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)

\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)

+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki

\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)

\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)

(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))

Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)

\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)

\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)

dvdfhfeye5

Ta có: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta có:

\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:

\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)

Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

Do đó \(\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Giải:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2x-2}{4}=\frac{3y-6}{9}=\frac{2x-2+3y-6-z+3}{4+9-4}=\frac{\left(2x+3y-z\right)-\left(2+6-3\right)}{9}=\frac{50-5}{9}=5\)

+) \(\frac{x-1}{2}=5\Rightarrow x=11\)

+) \(\frac{y-2}{3}=5\Rightarrow y=17\)

+) \(\frac{z-3}{4}=5\Rightarrow z=23\)

\(\Rightarrow x+y+z=11+17+23=51\)

Vậy \(x+y+z=51\)