Lời giải:
Đặt $t=\frac{2x}{x^2+1}$

$t+1=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0\Rightarrow t\geq -1$

$1-t=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\geq 0\Rightarrow t\leq 1$

Vậy $-1\leq t\leq 1$

$y=t^2-4t+25=(t+1)(t-5)+30$

Vì $-1\leq t\leq 1$ nên $t+1\geq 0; t-5\leq 0\Rightarrow (t+1)(t-5)\leq 0$

$\Rightarrow y\leq 30$

Vậy $y_{\max}=30$

Xét \(g\left(x\right)=\dfrac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\)

\(g\left(x\right)=\dfrac{3x^2-\left(x^2-x+1\right)}{x^2-x+1}=\dfrac{3x^2}{x^2-x+1}-1\ge-1\)

\(g\left(x\right)=\dfrac{3\left(x^2-x+1\right)-x^2+4x-4}{x^2-x+1}=3-\dfrac{\left(x-2\right)^2}{x^2-x+1}\le3\)

\(\Rightarrow-1\le g\left(x\right)\le3\Rightarrow0\le\left|g\left(x\right)\right|\le3\)

\(\Rightarrow y_{max}=3\) khi \(x=2\)

a) đk: x\(\ge0\);

P = \(\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

= \(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

b) Để P = \(\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{8}{9}\)

<=> \(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{3}\)

<=> \(\dfrac{3\sqrt{x}-2x+2\sqrt{x}-2}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=0\)

<=> \(-2x+5\sqrt{x}-2=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

c)

Đặt \(\sqrt{x}=a\) (\(a\ge0\))

P = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}\)

Xét P + \(\dfrac{4}{9}\) = \(\dfrac{4a}{3a^2-3a+3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12a+4a^2-4a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4a^2+8a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4\left(a+1\right)^2}{9\left(a^2-a+1\right)}\ge0\)

Dấu "=" <=> a = -1 (loại)

=> Không tìm được Min của P

Xét P - \(\dfrac{4}{3}\) = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4a-4a^2+4a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4a^2+8a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4\left(a-1\right)^2}{3\left(a^2-a+1\right)}\le0\)

<=> \(P\le\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" <=> a = 1 <=> x = 1 (tm)

a) ĐKXĐ: \(x\ge0\)

b) Ta có: \(P=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\left(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)

Ta có: \(P=\dfrac{8}{9}\)

nên \(36\sqrt{x}=27\left(x-\sqrt{x}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow27x-27\sqrt{x}+27-36\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow27x-63\sqrt{x}+27=0\)

ĐK: \(x\in Z\)

a) Giải:

Để \(A\) đạt giá trị lớn nhất

\(\Leftrightarrow\dfrac{2002}{\left|x\right|+2002}\) đạt giá trị lớn nhất

\(\Leftrightarrow\left|x\right|+2002\) phải nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left|x\right|=0\)

\(\Rightarrow A_{Max}=\dfrac{2002}{0+2002}=\dfrac{2002}{2002}=1\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là \(1\)

b) Để \(B\) đạt giá trị lớn nhất

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|x\right|+2002}{-2003}\) phải lớn nhất

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+2002>0\\-2003< 0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{\left|x\right|+2002}{-2003}< 0\)

Mà \(\forall-a< 0\) nếu muốn \(-a\) lớn nhất \(\Leftrightarrow a\) nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow\left|x\right|+2002\) phải nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\left|x\right|=0\)

\(\Rightarrow B_{Max}=\dfrac{0+2002}{-2003}=\dfrac{2002}{-2003}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) là \(\dfrac{2002}{-2003}\)

mọi người ơi giúp với ạ

A) x = 0 A = 1

B) x = 1 hoặc -1 B = -1

ĐK: Biểu thức xác định với mọi `x`.

`y_(min) <=> (\sqrt(2-cos(x-π/6))+3)_(max) <=> (cos(x-π/6))_(max)`

`<=> cos(x-π/6)=1 <=> x-π/6=k2π <=> x = π/6+k2π ( k \in ZZ)`.

`=> y_(min) = 1`

`y_(max) <=> (\sqrt(2-cos(x-π/6))+3)_(min) <=> (cos(x-π/6))_(min)`

`<=> cos(x-π/6)=-1 <=> x -π/6= π+k2π <=> x = (7π)/6+k2π (k \in ZZ)`

`=> y_(max) = (6-2\sqrt3)/3`.

1, \(y=2-sin\left(\dfrac{3x}{2}+x\right).cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\)

 \(y=2-\left(-cosx\right).\left(-sinx\right)\)

y = 2 - sinx.cosx

y = \(2-\dfrac{1}{2}sin2x\)

Max = 2 + \(\dfrac{1}{2}\) = 2,5

Min = \(2-\dfrac{1}{2}\) = 1,5

2, y = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}sin^22x}\)

Min = \(\sqrt{5-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Max = \(\sqrt{5}\)

Lời giải:
\(x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\Rightarrow x^2\leq 2\Rightarrow \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{3}\)

\(y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\geq \frac{x+1}{\sqrt{3}}\geq \frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}\)

Vậy $y_{\min}=\frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$ khi $x=-\sqrt{2}$

$y^2=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=1+\frac{2x}{x^2+1}$

$y^2=2+\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}=2-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\leq 2$

$\Rightarrow y\leq \sqrt{2}$

Vậy $y_{\max}=\sqrt{2}$ khi $x=1$