Gọi I là tâm đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC. Chứng minh: \(a\overrightarrow{IA}-b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Cho tam giác ABC với cạnh AB = c , BC=a , CA=b
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . CMR \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. Chứng minh rằng: \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
cho tam giác ABC và I thỏa mãn : \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
a, phân tích \(\overrightarrow{IA}\) theo \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\)
b gọi G là trọng tâm tam giác, J thỏa mãn \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)
chứng minh : I,J,G thẳng hàng
\(a,\) \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}-4\overrightarrow{IC}\)
\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{IC}\)
\(=2\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)-2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}\right)\)
\(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AI}\)
\(\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(b,\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{4}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\left(1\right)\)
\(\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)\((\) \(\) \(M\) \(trung\) \(điểm\) \(BC)\)
\(\overrightarrow{JG}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IJ}=-4\overrightarrow{JG}\Rightarrow I,J,G\) \(thẳng\) \(hàng\)
đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB tại D,E,F. Chứng minh rằng: \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
cho tam giác ABC gọi I là tâm đg tròn nội tiếp tam giác. AB=c, BC=a,AC=b
CMR a, \(a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}\)\(=\overrightarrow{0}\)
b, \(sinA.\overrightarrow{IA}+sinB.\overrightarrow{IB}+sinC.\overrightarrow{IC}\)\(=\overrightarrow{0}\)
Câu a
Thừa nhận định lý: trên đường thẳng BC với điểm M thuộc BC và điểm A bất kỳ thì \(\dfrac{MC}{BC}\).\(\overrightarrow{AB}\) + \(\dfrac{BM}{BC}\).\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM}\)(tạm thời thì mình đang gấp, chưa chúng minh được) cái này là định lý ngoài nha, đừng vẽ lên hình
Gọi điểm A' là giao điểm của AI và BC
áp dụng định lý trên: \(\overrightarrow{IA'} = \dfrac{A'C}{BC}.\overrightarrow{IB} + \dfrac{A'B}{BC}.\overrightarrow{IC}\) (*)
sử dụng dịnh lý đường phân giác \(\dfrac{A'C}{AC}=\dfrac{A'B}{AB}\) và tỉ lệ này bằng với \(\dfrac{BC}{AC+AB}=\dfrac{BC}{b+c}\) (định lý về phân số \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\) )
suy ra \(\dfrac{A'C}{BC}=\dfrac{AC}{b+c}=\dfrac{b}{b+c}\) (1)
và \(\dfrac{A'B}{BC}=\dfrac{AB}{b+c}=\dfrac{c}{b+c}\) (2)
Thay (1), (2) vào (*)
ta có \(\overrightarrow{IA'} = \dfrac{b}{b+c}.\overrightarrow{IB} + \dfrac{c}{b+c}.\overrightarrow{IC}\) (3)
Mặt khác ta lại có \(\dfrac{\overrightarrow{IA'}}{\overrightarrow{IA}}\)=\(-\dfrac{IA'}{IA}\) (do 2 vecto đối nhau)
suy ra \(\overrightarrow{IA'}\)=\(-\dfrac{IA'}{IA}\).\(\overrightarrow{IA}\)=\(-\dfrac{A'C}{AC}\).\(\overrightarrow{IA}\)=\(-\dfrac{a}{b+c}\).\(\overrightarrow{IA}\) (sử dụng tiếp tục định lý đường phân giác nha bạn \(\dfrac{IA'}{IA}=\dfrac{A'C}{AC}\) ) (4)
Từ (3) và (4) ta suy ra \(-\dfrac{a}{b+c}\overrightarrow{IA'} = \dfrac{b}{b+c}.\overrightarrow{IB} + \dfrac{c}{b+c}.\overrightarrow{IC}\)
loại \(b+c\) trong cả 2 vế ta còn lại
\(-a.\overrightarrow{IA'} = b.\overrightarrow{IB} + c.\overrightarrow{IC}\) \(\leftrightarrow\)\(a.\overrightarrow{IA'} + b.\overrightarrow{IB} + c.\overrightarrow{IC}= \overrightarrow{0}\)
CHÚC MỪNG NĂM MỚI MỌI NGƯỜI NHOA.
Câu hỏi : cho tam giác ABC có điểm I là tâm đường tròn nội tiếp và a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB. Chứng mình : \(a\overrightarrow{IA}\)+ \(b\overrightarrow{IB}\)+ \(c\overrightarrow{IC}\)=0
Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I. Đặt AB = c; BC = a; AC = b. CMR \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
giả sử : \(a< b< c\)
\(\Rightarrow a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=a\overrightarrow{IA}+a\overrightarrow{IB}+x\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\) với \(a+x=b\)
\(=a\overrightarrow{CI}+x\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\)
để dàng thấy \(\overrightarrow{CI}\) và \(\overrightarrow{IB}\) tạo nhau 1 góc \(\alpha\ne0\)
\(\Rightarrow a\overrightarrow{CI}+x\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{a}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{IC}\)
\(\Rightarrow a\overrightarrow{CI}+x\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\ne\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\) đề sai
Hình tự vẽ:
Kẽ AI căt BC tại D.
\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{c}{b}\)
\(\Leftrightarrow bDB=cDC\)
\(\Rightarrow b\overrightarrow{BD}=c\overrightarrow{DC}\)
\(\Leftrightarrow b\left(\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}\right)=c\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}\left(1\right)\)
Ta lại co:
\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{BD+CD}{BA+CA}=\dfrac{a}{b+c}\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a\overrightarrow{IA}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta co ĐPCM
Cho tam giác ABC với BC = a , CA = b , AB = c. TÌm điểm I sao cho : \(a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c. I là tâm đường tròn nội tiếp.
a) Chứng minh \(a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
b)Kéo dài IA,IB,IC về phía A,B,C và trên đó lấy A',B',C' sao cho AA'=a.IA, BB'=b.IB, CC'=c.IC. Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm