Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E , đường tròn tâm K đường kính HC cắt AC tại F
Chứng minh rằng : EF là tiếp tuyến của (I) và (K)
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E . Đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F . Chứng minh
a AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm J và I tại H
b EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại E , tiếp tuyến của đường tròn tâm J tại F
Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E . Đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F . Chứng minh
a AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm J và I tại H
b EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại E , tiếp tuyến của đường tròn tâm J tại F
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ đường tròn tâm I đươngf kính BH cắt AB tại D.Vẽ đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại E. CMR:
a, AD.AB=AE.AC
b,DE là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm I và tâm K
Cho tam giác ABc vuông tại A đường cao AH vẽ đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại M và đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC tại N
a Chứng minh rằng tứ giác AMHN là hình chữ nhật
b Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c Tìm điều kiện của tam giác ABC để M N có độ dài lớn nhất
a: Xét (I) có
ΔHMB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét (K) có
ΔCNH nội tiếp
HC là đường kính
Do đó; ΔCNH vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
nên AMHN là hình chữ nhật
b: góc IMN=góc IMH+góc NMH
=góc IHM+góc NAH
=góc HAC+góc HCA=90 độ
=>NM là tiếp tuyến của (I)
góc KNM=góc KNH+góc MNH
=góc KHN+góc MAH
=góc HBA+góc HAB=90 độ
=>MN là tiếp tuyến của (K)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm O đường kính CH cắt AC tại F. CMR:
a, AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (O) tại H.
b, EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (O) tại F.
a: Xét (I) có
ΔHMB nội tiếp
HB là đường kính
Do đó: ΔHMB vuông tại M
Xét (K) có
ΔCNH nội tiếp
CH là đường kính
=>ΔCNH vuông tại N
Xét tứ giác AMHN có
góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ
nên AMHN là hình chữ nhật
b: góc NMI=góc NMH+góc IMH
=góc NAH+góc IHM
=góc CAH+góc HCA=90 độ
=>NM là tiếp tuyến của (I)
góc KNM=góc KNH+góc MNH
=góc KHN+góc MAH
=góc BAH+góc B=90 độ
=>MN là tiếp tuyến của (K)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại M. Đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại N. Gọi O là giao điểm của AH và MN. Chứng minh MN là tiếp tuyến của (I) và (K)
Tam giác MBH nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BH
=> Tam giác MHB vuông tại M => MH vg AB => AMH = 90 độ
Tam giác HNC nội tiếp đường tròn tâm O đk HC => Tam giác NHC vuông tại N
=> ANH = 90 độ
TG NAMH có ANH = HMA = MAN = 90 độ
=> NAMH là HCN . Gọi MN giao AH tại O => OM = OH ; ON = OH ( tính chất HCN)
Tam giác BMH vuông tại M có MI là trung tuyến => MI = IH = 1/2 BH => Tam giác IMH cân tại I
=> IMH = IHM (1)
Tam giác OMH có OM = OH => tam giác OMH cân tại O => OMH = OHM (2)
Từ (1) và (2) => IMH + OMH = IHM + OHM => OMI = IHO = 90 độ
=> MN vg IM
=> MN là tiếp tuyến đường tròn tâm I (*)
CM tương tự MN vg NK => MN là tiếp tuyến đường tròn tâm K (**)
Từ (*) và(**) => MN là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm I và K
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $D$. Đường tròn $(J)$ đường kính $CH$ cắt $AC$ tại $E$. Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $(I)$ và đường tròn $(J)$.
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chỉ cần chứng minh ID\perp DEID⊥DE .
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có: \widehat{BDH}=\widehat{CEH}=90^oBDH=CEH=90o.
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA.
Suy ra tam giác ODH cân tại O vì vậy \widehat{ODH}=\widehat{OHD}ODH=OHD.
Ta cũng có tam giác IDH cân tại I suy ra \widehat{IDH}=\widehat{IHO}IDH=IHO.
Suy ra \widehat{IDO}+\widehat{OHD}=\widehat{IHD}+\widehat{IHA}=90^oIDO+OHD=IHD+IHA=90o \Leftrightarrow\widehat{IDO}=90^o⇔IDO=90o hay DI \perp⊥ DE.
Ta có DI\perp DE\left(D\in\left(I\right)\right)DI⊥DE(D∈(I)) suy ra DE tiếp xúc với (I) tại D.
Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với (J) tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và đường tròn (J).
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có : góc BHD = góc CEH=90°
=> tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Gọi O là giao điểm của AH và DE khi đó ta có OD=OE=OA
=> Tam giác ODH cân tại O vì vậy góc ODH = góc OHD
Ta cũng có tam giác IDH cân tại I suy ra góc IDH= góc IHO
=> góc IDO + góc OHD = góc IHD + góc IHA=90° <=> góc IDO = 90° hay DI ⊥ DE
ta có DI ⊥ DE ( D ∈ I) => DE tiếp xúc với (I) tại D
Ta có DE tiếp xúc với (J) tại E
Vậy DE là tiếp tuyến chung của đường tròn (I) và đường tròn (J)
vì D,E lần lượt thuộc đương tròn đương kính BH và CH nên ta có góc BDH =CEH =90' ⇒tứ giác ADHE là hình chữ nhật
gọi O là giao điểm của AH và DE khi đó ta có OD=OH=OE=OA
⇒ΔODH cân tại O vì vậy gcos ODH=OHD
ta cũng có tam giác IDH caantaij I suy ra góc IHD =IHO
suy ra góc IDO+OHD =IHD +IHA = 90'
⇒góc IDO =90' HAY DI vuông góc với DE
suy ra DE tiếp xúc với I tạo D và DE tiếp xúc với J tại E
vậy ED là tiếp tuyến chung của 2 đương tròn J và I
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đường tròn tâm O' đường kính CH, hai đường tròn này cắt AB, AC thứ tự tại E và F
a, Tứ giác AEHF là hình gì?
b, Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (O’)
c, Chứng minh đường tròn đường kính OO' tiếp xúc với EF
d, Cho đường tròn tâm I bán kính r tiếp xúc với EF, (O) và (O’). Tính r theo BH và CH?
a, HS tự làm
b, HS tự làm
c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này
d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N
Đặt BH=2R; CH= 2R’
∆IOM vuông tại M có:
I M 2 = I O 2 - O M 2 = R + r 2 - R - r 2 = 4 R r
Tương tự , ∆ION có I N 2 = 4 R ' r
Suy ra IM+IN=EF=AH
Vậy 2 R r + 2 R ' r = 2 R R '
=> r R + R ' = R R '
=> r = R R ' R + R ' 2