cho x,y là những số thực dương thỏa mãn
(x+1)(y+1)=4xy
CMR
\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
cho x,y là những số thực dương thỏa mãn
(x+1)(y+1)=4xy
CMR
\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
cho x,y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy. chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
\(gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)
Ta có: \(LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}\) (thay cái giả thiết vào:v)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}\) (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh \(ab\le1\). Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
Nhớ có câu tương tự bài này mà sao nót ko hiển thị nhỉ? Thôi kệ nhai lại vậy:v
gt\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+1\right)\left(\frac{1}{y}+1\right)=4gt⇔(x1+1)(y1+1)=4
Đặt \frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3x1=a;y1=b⇒(a+1)(b+1)=4⇒ab+a+b=3
Ta có: LHS=\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}LHS=3x2+11+3y2+11
=\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{a}\right)^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(\frac{1}{b}\right)^2+1}}=3(a1)2+11+3(b1)2+11
=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(a+b\right)}}=a2+3a+b2+3b=(a+1)(a+b)a+(b+1)(a+b)b (thay cái giả thiết vào:v)
\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)+\frac{1}{2}≤21(a+1a+b+1b+a+ba+b)=21(a+1a+b+1b)+21
=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{ab+a+b+1}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab+3}{4}\right)+\frac{1}{2}=21(ab+a+b+1ab+3)+21=21(4ab+3)+21 (1)
Từ giả thiết dễ dàng chứng minh ab\le1ab≤1. Từ đó thay vào (1) ta có đpcm.
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: (x+1)(y+1)=4xy
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
Cho x,y,z là những số thực dương thỏa mãn : \(x+y+z\le1\)Chứng minh rằng:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)
\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)
\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)
Cho x>0;y>0 thỏa mãn (x+1)(y+1)=4xy.
Chứng minh : \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow ab+a+b=3\)
\(\Rightarrow ab+2\sqrt{ab}\le3\Rightarrow\left(\sqrt{ab}+3\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)\le0\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\le1\Rightarrow ab\le1\)
\(P=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+a+b+b^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+a+ab+b}{ab+a+b+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{4}\right)\)
\(P\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)=1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Cho x,y,z là các số thực dương, thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
Cho các số thực x, y thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy. CMR: \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)
HELP ME! Bài này có thể giải được bằng phương pháp chọn điểm rơi không mọi người? nếu có giải giúp mình bằng phương pháp đó nhé! Thanks!
cho bài cm hình đi
vd như Cho hình bình hành ABCD. trên các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
Chả biết đề có đúng không nữa nhưng mà nếu thử x = 0 ; y = -1 thì VT = 1,5 > 1 :)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\).Từ gt\(\Rightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}=4\Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)
Mà \(ab+a+b=\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+ab+2\sqrt{ab}\ge ab+2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow3\ge ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow4\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)\(\Rightarrow\sqrt{ab}+1\le2\Rightarrow ab\le1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}=\frac{a}{\sqrt{ab+a+b+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{a}{a+b}\right)\)
Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{b}{a+b}\right)\)
Cộng theo vế BĐT ta có:\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}+\frac{b}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+1\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{2ab+a+b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+1\right]\)\(\le\frac{1}{2}\left[\frac{ab+a+b+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+1\right]=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
2 .
Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\) Chứng minh rằng : \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le1\)Bài 1 :
Từ \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\)
\(\Rightarrow\frac{x+1}{x}.\frac{y+1}{y}=4\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y}\), ta có :
\(\left(1+a\right)\left(1+b\right)=4\Leftrightarrow3=a+b+ab\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{ab}+ab\ge2\sqrt{ab}+ab\)
Từ đó \(ab\le1\)
Áp dụng AM - GM cho 2 số thực dương ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{3+\frac{1}{x^2}}}=\frac{a}{\sqrt{a+b+ab+a^2}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+1\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+1}\right)\)
Tương tự ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}\right)\)
Cộng vế theo vế ta được : \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\right)\) \(\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{2ab+a+b}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\right)\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{ab+3}{2}\right)\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1+3}{4}\right)\le1\) Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{a+b}=\frac{a}{b+1}\\\frac{b}{a+b}=\frac{b}{b+1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=1\)Bài 1 :
Vì \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\) nên \(b=\frac{2ac}{a+c}\)
Do đó : \(\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2a^2}=\frac{a+3c}{2a}\)
Và : \(\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{c^2+3ac}{2c^2}=\frac{c+3a}{2c}\)
Suy ra \(P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{c+3a}{2c}=\frac{ac+3c^2+ac+3a^2}{2ac}\)
\(=\frac{3\left(a^2+c^2\right)+2ac}{2ac}\ge\frac{3.2ac+2ac}{2ac}=\frac{8ac}{2ac}=4\)
Vậy \(P\ge4\) với mọi a,b,c thỏa mãn đề bài. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Vậy GTNN của P là 4 khi a=b=c
Chúc bạn học tốt !!
Mình nhầm tí nhé bạn dổi bài 1 thành bài 2 nhé ạ sorry bạn nhìu
Ai thích luyện thì luyện
Cho \(x,y,z\)là ba số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\). Chứng minh rằng :
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\sqrt{82}\)