Lời giải:

\(A=\frac{x^3-y^3-z^3-3xyz}{(x+y)^2+(y-z)^2+(x+z)^2}=\frac{(x-y)^3+3xy(x-y)-z^3-3xyz}{x^2+y^2+2xy+y^2-2yz+z^2+z^2+x^2+2xz}\)

\(=\frac{(x-y)^3-z^3+3xy(x-y-z)}{2x^2+2y^2+2z^2+2xy-2yz+2xz}=\frac{(x-y-z)[(x-y)^2+z(x-y)+z^2]+3xy(x-y-z)}{2(x^2+y^2+xy-yz+xz)}\)

\(=\frac{(x-y-z)[(x-y)^2+z(x-y)+z^2+3xy]}{2(x^2+y^2+xy-yz+xz)}=\frac{(x-y-z)(x^2+y^2+z^2+xy-yz+xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy-yz+xz)}=\frac{x-y-z}{2}\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Nếu x ≥ 0, y  ≥  0, z  ≥  0 thì:

x + y + z  ≥  0

x - y 2 + y - z 2 + z - x 2 ≥ 0

Suy ra:

x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x y z

Hay:  x 3 + y 3 + z 3 3 ≥ x y z

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=z\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Nếu a ≥ 0, b  ≥  0, c  ≥  0 thì :

Ta rút gọn tử thức trc: \(x^3+y^3+z^3-3xyz=x^3+y^3+z^3+x^2y-x^2y+xy^2-xy^2+y^2z-y^2z+yz^2-yz^2+x^2z-x^2z+xz^2-xz^2-xyz-xyz-xyz=x^2\left(x+y+z\right)+y^2\left(x+y+z\right)+z^2\left(x+y+z\right)-x\left(x+y+z\right)-yz\left(x+y+z\right)-xz\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2xz+x^2\right)=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right)\)tới đây rút gọn đc rồi chứ

Ta có: x³ + y³ + z³ = 3xyz

x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0

x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + z³ - 3xy(x + y) - 3xyz = 0

(x + y)³ + z² - 3xy(x + y + z) = 0

(x + y + z)[(x + y)² - (x + y)z + z²] - 3xy(x + y + z) = 0

(x + y + z)(x² + 2xy + y² - xz - yz + z²) - 3xy(x + y + z) = 0

(x + y + z)(x² + 2xy + y² - xz - yz + z² - 3xy) = 0

(x + y + z)(x² + y² + z² - xz - yz - xy) = 0

=> x + y + z = 0 hoặc x² + y² + z² - xz - yz - xy = 0

+) Với x + y + z = 0 

<=> x + y = -z, x + z = -y, y + z = -x

Thay x + y = -z, x + z = -y, y + z = -x vào P, ta có:

\(P=\frac{xyz}{\left(-z\right)\left(-x\right)\left(-y\right)}=-1\)

+) Với x² + y² + z² - xz - yz - xy = 0

=> 2x² + 2y² + 2z² - 2xz - 2yz - 2xy = 0

=> (x² - 2xy + y²) + (x² - 2xz + z²) + (y² - 2yz + z²) = 0

=> (x - y)² + (x - z)² + (y - z)² = 0

=> (x - y)² = 0 và (x - z)² = 0 và (y - z)² = 0

=> x = y và x = z và y = z

=> x = y = z

Thay x = y = z vào P, ta có:

\(P=\frac{xxx}{\left(x+x\right)\left(x+x\right)\left(x+x\right)}=\frac{x^3}{\left(2x\right)^3}=\frac{x^3}{8x^3}=\frac{1}{8}\)