Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB^2}{AC^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:

\(HB^2=BE\cdot AB\)

\(\Leftrightarrow BE=\dfrac{HB^2}{AB}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔACH vuông tại A có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(CH^2=CF\cdot CA\)

\(\Leftrightarrow CF=\dfrac{CH^2}{CA}\)

Ta có: \(\dfrac{EB}{FC}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\dfrac{BH^2}{CH^2}:\dfrac{AB}{AC}\)

\(=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB

nên \(AH^2=AE\cdot AB\left(2\right)\)

Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC

nên \(AH^2=AF\cdot AC\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC=BH\cdot HC\)

a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AH^2=AE.AB\)

\(AH^2=AF.AC\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b)(\(\dfrac{BE}{CF}\) chứ)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:

\(AB^2=BH.BC\)

\(AC^2=CH.BC\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH}{CH}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^4}{AC^4}=\dfrac{BH^2}{CH^2}=\dfrac{BE.AB}{CF.AC}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

c)Áp dụng định lý Thales có:

\(\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{BE}{BA}\Leftrightarrow BA.BH=BE.BC\)

\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow CF.BC=CA.CH\)

\(\Rightarrow BA.CA.BH.CH=BE.CF.BC^2\)

\(\Leftrightarrow AH.BC.AH^2=BC^2.BE.BF\)

\(\Leftrightarrow BC^..BE.BF=AH^3\) 

Vậy ....

a) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có \(HE\bot AB\Rightarrow AE.AB=AH^2\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại H có \(HF\bot AC\Rightarrow AF.AC=AH^2\)

\(\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

b) sửa đề: \(\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

Dễ dàng chứng minh được EHAF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

Ta có: \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{BH}{CH}\)

Vì \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\angle EBH=\angle FHC\)

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle EBH=\angle FHC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HE}{CF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{EH}{CF}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{HE.AB}{AC.CF}\left(1\right)\)

Vì \(HE\parallel AC\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{HE}\Rightarrow BE=\dfrac{AB}{AC}.HE\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

c) Ta có: \(AH^4=\left(AH^2\right)^2=\left(BH.CH\right)^2=BH^2.CH^2\)

\(=BE.BA.CF.CA=BE.CF.AH.BC\left(AB.AC=AH.BC\right)\)

\(\Rightarrow AH^3=BE.CF.BC\)

dsfger

câu b bạn tham khảo ở đây

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-tam-giac-abc-vuong-tai-a-duong-cao-ah-goi-ef-theo-thu-tu-la-hinh-chieu-cua-h-tren-ab-aca-chung-minh-bcabcdot-sincaccdot-coscb-chung-minh-afcdot-ac2efcdot-bccdot-aecchung-minh.1076798870119

a) \(HF\parallel AB\) \(\Rightarrow\dfrac{HF}{AB}=\dfrac{CF}{CA}\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}=\dfrac{AB}{AC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}.\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\Rightarrow\dfrac{HF}{CF}.\dfrac{BH.BC}{CH.BC}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HF.BH}{CF.CH}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\Rightarrow\dfrac{HF.BH}{CH}.\dfrac{1}{CF}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\left(1\right)\)

Ta có: \(HF\parallel AB\)\(\Rightarrow\angle CHF=\angle CBA\)

Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta HFC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BEH=\angle HFC=90\\\angle CHF=\angle CBA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta BEH\sim\Delta HFC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{HF}{HC}\Rightarrow BE.HC=HF.BH\)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{HF.BH}{HC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)