\(n^5-n=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Vì 5 là số nguyên tố nên n⁵-n chiahết cho 5(1)

Vì \(n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3!=6\)

nên \(n^5-n⋮6\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(n^5-n⋮30\)

=>n^5 và n có chữ số tận cùng giống nhau

Lay 4 chu so thi dong du voi 10000  

5^1994=5^2*(5^4)^498  

5^4=625 dong du 625 mod 10000  

625^2=390625 dong du 625 mod 10000  

=>625^n luon dong du 625 mod 10000  

=>(5^4)^498 dong du 625 mod 10000  

=>(5^2)*(5^4)^498 dong du (5^2)*625 mod 10000  

hay la 5^1994 dong du 15625 mod 10000

 Vay 4 chu so tan cung cua 5^1994 la 5625 

​kết luận chữ số tận cũg có 4 chữ số

ngu tất

làm cách khác đi

\(n^5-n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮10\)

\(\Rightarrow n^5,n\) co chữ xô tận cùng giông nhau

Hai số có chữ số tận cùng giống nhau nên ta sẽ đi CM: n^5 - n chia hết cho 10
Dễ thấy n^5 và n cùng tính chất chẵn lẻ nên n^5 -n chia hết cho 2 (1) 
Ta có: n^5 - n = n(n+1)(n-1)(n²+1) 
= n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) + 5n(n-1)(n+1) 
Số hạng cuối thì chia hết cho 5 còn số hạng đầu là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên cũng chia hết cho 5 => n^5-n chia hết cho 5 (2) 
Từ (1), (2) và do 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau ta sẽ có đpcm!

 A = n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2 +1)(n^2 -1) =n(n^2 +1)(n+1)(n-1) 
* n(n +1) chia hết cho 2 => A chia hết cho 2. 

*cm: A chia hết cho 5. 
n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5. 
n không chia hết cho 5 => n = 5k + r (với r =1,2,3,4) 
- r = 1 => n - 1 = 5k chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 2 => n^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 3 => n^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
- r = 4 => n +1 = 5k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5 
=> A luôn chia hết cho 5 
2,5 nguyên tố cùng nhau => A chia hết cho 2.5=10 => A tận cùng là 0 
=> đpcm

Nói trước mình copy
n^5-n=n(n^4-1)=n(n²-1)(n²-4+5) 
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) (a) 
*Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tíc 5 số tự nhiên ltiếp nên chia hết cho 2,5 nên chia hết cho 10 
( vì (2,5)=1) (b) 
*Vì (n-1)n(n+1) là tích 3 số nguyên ltiếp nên chia hết cho 2 =>5(n-1)n(n+1) chia hết cho 10 (c) 
Từ (a),(b),(c)=>n^5-n chia hết cho 10 nên n^5 và n có cùng dư khi chia cho 10 
Đặt dư là r(r thuộc N,0≤r≤9) ta có:n^5=10k+r,n=10h+r đều có tận cùng là r (đpcm) 

A = n^5 ‐ n = n﴾n^4‐1﴿ = n﴾n^2 +1﴿﴾n^2 ‐1﴿ =n﴾n^2 +1﴿﴾n+1﴿﴾n‐1﴿

* n﴾n +1﴿ chia hết cho 2 => A chia hết cho 2.

*cm: A chia hết cho 5. n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5.

n không chia hết cho 5 => n = 5k + r ﴾với r =1,2,3,4﴿

‐ r = 1 => n ‐ 1 = 5k chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 2 => n^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 3 => n^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

‐ r = 4 => n +1 = 5k + 5 chia hết cho 5

=> A chia hết cho 5

=> A luôn chia hết cho 5

2,5 nguyên tố cùng nhau

=> A chia hết cho 2.5=10

=> A tận cùng là 0

mà A=n^5-n

nên n^5 và n phải có chữ số tận cùng giống nhau

=>dpcm

Ta có: \(n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp

nên \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)

Lại có \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(1\right)\)

Xét \(n\left(n-1\right)\)là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\left(2\right)\)

Mà \(\left(2;5\right)=1\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow n^5-n⋮2.5\)

                             \(\Rightarrow n^5-n⋮10\)

\(\Leftrightarrow n\)và \(n^5\)có chữ số tận cùng giống nhau

Vậy ,...

Cho mình hỏi tại sao phải lấy n^5-n

Lấy \(n^5-n\)để chứng minh hiệu của nó chia hết cho 10

NÓ mà chia hết cho 10 thì chứng tỏ chữ số tận cùng của \(n^5;n\) giống nhau thì \(n^5-n\)có chữ số tận cùng là 0 chia hết cho 10