Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

mọi người giúp em dùm cái ạ -_-

\(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{AHD}=\widehat{BHD}\).

\(\widehat{HAE}=90^0-\widehat{AHE}=\widehat{CHE}\).

-△AHD và △HBD có: \(\widehat{DAH}=\widehat{DHB};\widehat{ADH}=\widehat{BDH}=90^0\).

\(\Rightarrow\)△AHD∼△HBD (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{HD}=\dfrac{HD}{BD}\Rightarrow HD^2=AD.BD\).

-△AHE và △HCE có: \(\widehat{HAE}=\widehat{CHE};\widehat{AEH}=\widehat{HEC}=90^0\).

\(\Rightarrow\)△AHE∼△HCE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{HE}=\dfrac{HE}{CE}\Rightarrow HE^2=AE.CE\)

\(\Rightarrow HD^2+HE^2=AD.BD+AE.CE\left(1\right)\).

-Tứ giác ADHE có: \(\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90^0\)

\(\Rightarrow\)ADHE là hình chữ nhật nên △DHE vuông tại H, \(AH=DE\)

\(\Rightarrow HD^2+HE^2=DE^2=AH^2\left(2\right)\)

-Từ (1), (2) suy ra: \(AH^2=AD.BD+AE.CE\)

a, Sử dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu lên cạnh huyền và cạnh huyền trong tam giác vuông HBA và HCA

b, Tương tự a) và áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền trong tam giác vuông ABC

a/ Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}chung\\\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\sim HAC\left(g-g\right)\)

b/ \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10cm\)

\(AH.BC=AB.AC\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8cm\)

c/ \(\Delta HEA\sim\Delta CEH\left(g-g\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{HE}{CE}=\dfrac{EA}{HE}\Leftrightarrow HE^2=EA.EC\left(đpcm\right)\)

a) Xét ΔHAC và ΔABC có:

∠(ACH ) là góc chung

∠(BAC)= ∠(AHC) = 90o

⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (g.g)

b) Xét ΔHAD và ΔBAH có:

∠(DAH ) là góc chung

∠(ADH) = ∠(AHB) = 90o

⇒ ΔHAD ∼ ΔBAH (g.g)

c) Tứ giác ADHE có 3 góc vuông ⇒ ADHE là hình chữ nhật.

⇒ ΔADH= ΔAEH ( c.c.c) ⇒ ∠(DHA)= ∠(DEA)

Mặt khác: ΔHAD ∼ ΔBAH ⇒ ∠(DHA)= ∠(BAH)

∠(DEA)= ∠(BAH)

Xét ΔEAD và ΔBAC có:

∠(DEA)= ∠(BAH)

∠(DAE ) là góc chung

ΔEAD ∼ ΔBAC (g.g)

d) ΔEAD ∼ ΔBAC

ΔABC vuông tại A, theo định lí Pytago:

Theo b, ta có:

1) Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHAC(g-g)

a) xét \(\Delta MBE\)vuông tại E và \(\Delta HBE\)

có \(EM=EH\left(gt\right)\)

BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta MBE=\Delta HBE\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBE}=\widehat{HBE}\)( 2 góc tương ứng)

xét \(\Delta MAE\)VUÔNG TẠI E và \(\Delta HAE\)VUÔNG TẠI E

CÓ EM=EH (gt)

AE LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta MAE=\Delta HAE\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\)(2 GÓC TƯƠNG ỨNG)

XÉT \(\Delta ABM\)VÀ \(\Delta ABH\)

CÓ \(\widehat{MBE}=\widehat{HBE}\left(cmt\right)\)

AB LÀ CẠNH CHUNG

\(\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ABH\left(g-c-g\right)\)

MÀ TAM GIÁC ABH VUÔNG TẠI H

=> TAM GIÁC ABM VUÔNG TẠI M

=> \(AM\perp BM\)( ĐỊNH LÍ)

B) TA CÓ \(AC\perp AB\)

             \(HE\perp AB\)

\(\Rightarrow AC//HE\)(ĐỊNH LÍ)

\(\Rightarrow\widehat{EHA}=\widehat{HAF}\left(SLT\right)\)

XÉT \(\Delta EHA\)VUÔNG TẠI E VÀ \(\Delta FAH\)VUÔNG TẠI F

CÓ \(\widehat{EHA}=\widehat{HAF}\left(cmt\right)\)

HA LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta EHA=\Delta FAH\left(ch-gn\right)\)

=> EA = FH (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

XÉT \(\Delta EAH\)VUÔNG TẠI E VÀ \(\Delta HFE\)VUÔNG TẠI H

CÓ EA= FH (cmt)

EH LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta EAH=\Delta HFE\left(cgv-cgv\right)\)

=> AH = EF (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

CHÚC BN HỌC TỐT!!!!!!!!!!

Xét tg AHB và tg AHC,ta có:

AH chung

gBAH=gCAH(tia phân giác của góc A cắt BC tại H)

AB=AC(gt)

=>tg AHB =tg AHC(c-g-c)

Xét tg ABC,có:AB=AC (gt)

=>tg ABC cân tại A

mà AH là tia phân giác

=>AH là đường cao

=>AH vuông góc vs BC

Ta có:g BAH+g ABH=g AHB=90*

và gDHB+gDBH=gBDH=90*

=>góc HAB = góc BHD

gợi ý phần c

gọi F là giao điểm của AH và DE

Xét tg ADH và tg AEH,có

AH chung

ADH=AEH=90

DAH=EAH

=>tg ADH =tg AEH(ch-gn)

=>AD=AE

=>tg ADE cân tại A

mà AF là tia phân giác

=>AF vuông góc vs DE

ta có BHF=EFH=90

=>DE//BC

p/s:gợi ý thôi nên trình bày cẩn thận hơn nhé.

Đề thiếu rồi. Bạn coi lại đề.

hình bạn tự vẽ nhé 

hơi tắt nhưng chắc bạn hiểu 

gọi AH giao với ED=O

ta dễ dàng có \(OE=OH;EM=MH\)

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\\\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\end{cases}}\)

=> \(\widehat{MED}=\widehat{MHO}=90^o\)

tương tự ta có \(\widehat{EDN}=90^o\)

=> EM//DN(cùng vuông góc với ED=> DEMN là hình thang 

                                                            Mà \(\widehat{EDN}=90^o\)

=> DEMN là hình thang vuông  (ĐPCM)

- Xét \(\Delta BEH\)vuông tại E (vì EH vuông góc với AB) 
có EM là đường trung tuyến 
suy ra BM = ME = MH

- Xét \(\Delta EMH\)có EM = MH (cmt)  suy ra  \(\Delta EMH\)cân tại M
                                                           suy ra  \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)                                \(\left(1\right)\)

- Ta có: HE vuông góc với AE (gt)   và  AD vuông góc với AE (gt)        
suy ra  EH // AD
suy ra   EHDA là hình thang

-  Ta lại có:   AE vuông góc với AD (gt)  và HD vuông góc với AD (gt)      
suy ra AE // HD

- Xét hình thang EHDA  có   EA // HD (cmt) và EH // AD (cmt)
suy ra EA = HD và EH = AD

- Dễ thấy  \(\Delta AHE=\Delta DEH\)(c.g.c)
suy ra \(\widehat{HED}=\widehat{EHA}\)                                                                                          \(\left(2\right)\)
- Cộng \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)theo từng vế,
ta được: \(\widehat{MEH}+\widehat{HED}=\widehat{MHE}+\widehat{EHA}=90^0\)
suy ra ME vuông góc với ED

- chứng minh tượng tự ND vuông góc với ED
                              mà  ME vuông góc với ED
suy ra ND // ME

- Xét tứ giác  EMND có ND // ME
suy ra EMND là hình thang
mà \(\widehat{MED}=90^0\) suy ra (đpcm)
 

Chứng minh O là trực tâm của tam giác ABQ