- Hình vẽ:

a) - Xét △EDM có:

AB//DM (ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD).

=>\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{AB}{DM}\) (định lí Ta-let) (1).

- Xét △FCM có:

AB//CM (ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD).

=>\(\dfrac{BF}{MF}=\dfrac{AB}{CM}\) (định lí Ta-let) (2).

- Từ (1) và (2) và \(CM=DM\) (M là trung điểm BC) suy ra:

\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BF}{MF}\).

- Xét △ABM có:

\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{BF}{MF}\) (cmt)

=>\(EF\)//\(AB\) (định lí Ta-let đảo)nên\(EF\)//\(AB\)//\(CD\)

b) -Xét △ADM có: 

HE//DM (cmt).

=>\(\dfrac{HE}{DM}=\dfrac{AE}{AM}\) (định lí Ta-let). (3)

- Xét △ACM có:

EF//CM (cmt)

=>\(\dfrac{EF}{CM}=\dfrac{AE}{AM}\) (định lí Ta-let) (4)

- Từ (3) và (4) và \(DM=CM\) (M là trung điểm BC) suy ra: \(HE=EF\)

-Xét △BDM có: 

EF//DM (cmt).

=>\(\dfrac{EF}{DM}=\dfrac{BF}{BM}\)(định lí Ta-let). (5)

- Xét △BCM có:

NF//CM (cmt)

=>\(\dfrac{NF}{CM}=\dfrac{BF}{BM}\) (định lí Ta-let) (6)

- Từ (5) và (6) và \(CM=DM\) (M là trung điểm BC) suy ra: \(NF=EF\)

Mà ​\(HE=EF\) nên \(HE=EF=NF=\dfrac{1}{3}HN\).

c) -Ta có: ​\(\dfrac{HE}{DM}=\dfrac{AE}{AM}\) (cmt)

=>​\(\dfrac{DM}{HE}=\dfrac{AM}{AE}\).

=>\(\dfrac{DM}{HE}-1=\dfrac{EM}{AE}\) (7)

- Ta có: \(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{AB}{DM}\) nên ​\(\dfrac{EM}{AE}=\dfrac{DM}{AB}\). (8)

- Từ (7) và (8) suy ra:

\(\dfrac{DM}{HE}-1=\dfrac{DM}{AB}\)

=>\(\dfrac{DM}{HE}=\dfrac{DM}{AB}+1=\dfrac{DM+AB}{AB}\)

=>\(HE=\dfrac{AB.DM}{AB+DM}=\dfrac{7,5.\left(12.\dfrac{1}{2}\right)}{7,5+\left(12.\dfrac{1}{2}\right)}=\dfrac{10}{3}\)

=>\(HN=3HE=3.\dfrac{10}{3}=10\) (cm).

​​​​

a: Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

a, AB=CD(các cạnh đối bằng nhau theo từng đôi)

Mà M,N lần lượt là trung điểm AB, CD=> AM=BM=CN=DN

=>AM=CN

Vì AM=CN và AM//CN(AB//CD)=> AMCN là hình bình hành.

b, AMCN là hình bình hành=>AN//MC=>AE//MF

Tam giác ABE có: AE//MF và MA=MB=> EF=FB(tính chất đường trung bình) (1) => F là trung điểm BE.

c, AN//MC=>EN//FC

Tam giác DFC có: EN//FC và ND=NC=> DE=EF(tính chất đường trung bình) (2)

Từ (1) và (2)=>DE=EF=FB.

Dành cho những học siinh không làm được bài mò vào xem nè! Còn đúng hay sai mình không đảm bảo nha!!!

Gọi  \(N\)  là trung điểm của đoạn thắng  \(AB\)  \(;\)  \(N'\)  là giao điểm của \(GM\)  và \(AB\)

Tứ giác  \(ABCD\)  là hình thang nên  \(AB\text{//}CD\)

Khi đó, 

\(\Delta GMD\)  có  \(AN'\text{//}MD\), nên \(\frac{AN'}{MD}=\frac{GN'}{GM}\) (hệ quả của định lý Ta-lét) \(\left(3\right)\)

\(\Delta GMC\)  có  \(N'B\text{//}MC\), nên \(\frac{N'B}{MC}=\frac{GN'}{GM}\)  \(\left(4\right)\)

\(\left(3\right);\)  \(\left(4\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{AN'}{MD}=\frac{N'B}{MC}\)  \(\left(=\frac{GN'}{GM}\right)\)

Mà  \(MD=MC\)  \(\left(gt\right)\), do đó, \(AN'=N'B\)  hay  \(N'\)  phải trùng với  \(N\)

Tức là ba điểm \(G,\)  \(N,\)  \(M\)  thẳng hàng  \(\left(\text{*}\right)\)  

Tương tự, ta cũng chứng minh được ba điểm   \(N,\)  \(O,\)  \(M\)  thẳng hàng  \(\left(\text{**}\right)\)  

Từ  \(\left(\text{*}\right)\)  và  \(\left(\text{**}\right)\)  suy ra bốn điểm   \(G,\)  \(N,\)  \(O,\)  \(M\)  thẳng hàng

Vậy, đoạn thẳng \(GO\)  sẽ lần lượt đi qua  \(N\)  và  \(M\)  hay đi qua trung điểm của  \(AB\)  và  \(CD\)

Đặt AB = m, MC = MD = n.

a) Do AB // CD, ta có :

\(\frac{MI}{TA}=\frac{MD}{AB}=\frac{n}{m}\)

\(\frac{MK}{KB}=\frac{MC}{AB}=\frac{n}{m}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{MI}{IA}=\frac{MK}{KB}\) Từ đó theo định lí đảo của định lí Ta - lét đối với tam giác MAB, ta có IK // AB. ( nhưng lớp 8 chưa học ta -lét thì fai )