n^3+23n=n(n^2+23)=n(n^2-1)+24n

                                 =(n-1)n(n+1)+24n

Vi (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2, 1 bội của 3.

Mà (2,3)=1

Suy ra (n-1)n(n+1) chia hết cho 2*3=6

Mà 24n chia hết cho 6 ( do 24 chia hết cho 6)

Suy ra đccm

ta có

\(2n^2\left(n+1\right)-2n^2\left(n^2+n-3\right)=2n^2\left(4-n^2\right)=2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\)

nhận thấy \(n-2,n,n+2\)là ba số chẵn liên tiếp hoặc 3 số lẻ liên tiếp

do đó tích \(n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 3 với mọi n}\)

hay \(2n^2\left(2-n\right)\left(2+n\right)\text{ chia hết cho 6 với mọi n}\)

bạn ghi sai đề ; 4ⁿ⁺³+4ⁿ⁺²-4^n-1-4ⁿ =4ⁿ( 4³+4²-4-1)=4ⁿ.75 =4^n-1.300 ta thấy n\(\inℕ^∗\) nên 4^n-1.300 \(⋮\)300 \(\Rightarrow\)..............

......................(bạn ghi câu kết nha

giải câu c nha

xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

Ta có:a³-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6

tương tự :b³-b chia hết cho 6 và c³-c chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6

=> a³+b³+c³ -a-b-c chia hết cho 6

mà a³+b³+c³chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6

k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha

a/ n³ - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

Sao cậu k k cho tớ

Ta chứng minh bằng quy nạp:

- Với  \(n=4\) BĐT trở thành \(3^3>4.6\) (đúng)

- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)

Ta cần chứng minh BĐT cũng đúng với \(n=k+1\)

Hay \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(3^k=3.3^{k-1}>3.k\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\)

Do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\Rightarrow2k^2+2k-3>0\)

\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)

\(\Rightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)

1)  \(55^{n+1}-55^n=55^n\left(55-1\right)=55^n.54⋮54\)

2) A= \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

A là tích 3 số TN liên tiep => A\(⋮\)2; A\(⋮\)3

=> A\(⋮\)2.3

A\(⋮\)6