A.

I là trung điểm của AB

I là trung điểm của MN (M đối xứng N qua I)

=> AMBN là hình bình hành

mà AM = MB (AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A)

=> AMBN là hình thoi

B.

Tam giác ABC vuông tại A có:

BC² = AB² + AC² (định lý Pytago)

= 12² + 16²

= 144 + 256

= 400 (cm)

BC =  = 20 (cm)

mà AM = BC = 20 : 2 = 10 (cm) (AM là đường trung tuyến của tam giác ABC vuông tại A)

AN = MB (AMBN là hình thoi)

mà MB = MC (M là trung điểm của BC)

=> AN = MC

mà AN // MC (AMBN là hình thoi)

=> ACMN là hình bình hành

=> MN = AC

mà AC = 16 (cm)

=> MN = 16 (cm)

a: AM=BC/2=3cm

b: Xét tứ giác AMCN có

O là trung điểm chung của AC và MN

MA=MC

Do đó: AMCN là hình thoi

a: Xét tứ giác AMBD có 

I là trung điểm của AB

I là trung điểm của MD

Do đó: AMBD là hình bình hành

mà MA=MB

nên AMBD là hình thoi

\(a,\) Vì AM là trung tuyến tam giác cân tại A nên AM cũng là đường cao

Vì D là trung điểm AC và MN nên AMCN là hình bình hành

Mà \(AM\bot BC\Rightarrow AM\bot MC\)

Do đó: AMCN là hình chữ nhật

\(b,\) Vì AMCN là hcn nên \(AM=AC;AN=MC\)

Mà \(AB=AC;MB=MC\Rightarrow AM=AB;AN=MB\)

Vậy ABMN là hình bình hành

\(c,\) Ta có \(BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)\)

Áp dụng PTG vào tam giác ABM vuông M

\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=4\left(cm\right)\)

Do đó \(S_{AMCN}=AM\cdot MC=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

a) Xét tam giác ABC cân tại A: AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC. \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMC}\) = 90^o.

Xét tứ giác AMCN có:

+ D là trung điểm của MN (N đối xứng với M qua D).

+ D là trung điểm của AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb).

Lại có:  \(\widehat{AMC}\) = 90^o (cmt).

 \(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (cmt).

\(\Rightarrow\) AN // MC (Tính chất hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) AN // BM.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC (gt). \(\Rightarrow\) M là trung điểm của BC.

\(\Rightarrow\) BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà AN = MC (Tứ giác AMCN là hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) BM = MC = AN.

Xét tứ giác ABMN có:

+ BM = AN (cmt).

+ BM // AN (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABMN là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC = \(\dfrac{1}{2}\).6 = 3 (cm).

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AB² = AM² + BM² (Định lý Pytago).

Thay số: 5² = AM² + 3².

\(\Leftrightarrow\) 25 = AM² + 9. \(\Leftrightarrow\) AM² = 16. \(\Leftrightarrow\) AM = 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật AMCN là: 3 . 4 = 12 (cm²).

Lời giải:
a. Vì $N$ đối xứng với $M$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $MN$

Tứ giác $AMCN$ có 2 đường chéo $AC, MN$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên $AMCN$ là hình bình hành.

Mặt khác:

$ABC$ là tam giác cân nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM\perp BC$ hay $\widehat{AMC}=90^0$
Hình bình hành $AMCN$ có 1 góc vuông nên là hcn.

b. Vì $AMCN$ là hcn nên $AN=MC$ và $AN\parallel MC$

Mà $BM=MC$ và $B,M,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow BM=AN$ và $BM\parallel AN$
$\Rightarrow ANMB$ là hbh

c.

Diện tích $AMCN$: $S=AM.MC$. Trong đó:
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-(6:2)^2}=4$ (cm) theo định lý Pitago)

$MC=BC:2=3$ (cm)

$\Rightarrow S=3.4=12$ (cm²)

a: M đối xứng N qua AB

nên AM=AN; BM=BN

mà MA=MB

nên MA=MB=AN=BN

=>AMBN là hình thoi

b: Xét tứ giác ACMN có

AN//CM

AN=CM

Do đó: ACMN là hình bình hành

=>AM cắt CN tại trung điểm của mỗi dường

=>N,I,C thẳng hàng

c: BC=2*AM=10cm

=>AB=8cm

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\left(cm^2\right)\)

Ta có: N đối xứng M qua O \(\Rightarrow\) O là trung điểm của MN

Ta có: AM là đường trung tuyến \(\Rightarrow\) M là trung điểm của AB \(\Rightarrow\) MC = MB = \(\dfrac{BC}{2}\)

Xét \(\Delta\) ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

\(\Rightarrow\) AM = \(\dfrac{BC}{2}\)

                  Mà MC = \(\dfrac{BC}{2}\)

\(\Rightarrow\) AM = MC 

Xét tứ giác AMCN có:

O là trung điểm của AC

O là trung điểm của MN

AC \(\cap\) MN = {O}

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành

                         Mà AM = MC

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

nên AM=BM=CM=BC/2

Xét tứ giác AMBE có 

D là trung điểm của đường chéo AB

D là trung điểm của đường chéo ME

Do đó: AMBE là hình bình hành

mà AM=BM

nên AMBE là hình thoi

giúp mình với