Bài làm

\(xy^2+2xy+x=32y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+2y+1\right)=32y\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{32y}{y^2+2y+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{32y}{y+1}-\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Để x là số nguyên dương thì 

\(\left(y+1\right)^2\inƯ_{\left(32\right)}\)và\(\left(y+1\right)^2\)là số chính phương 

\(\Rightarrow\left(y+1^2\right)=\left\{1;4;16\right\}\)

\(\Leftrightarrow y+1=\left\{1;2;4\right\}\)

\(\Leftrightarrow y=\left\{0;1;3\right\}\)

Vì y là số nguyên dương 

Nên: \(\hept{\begin{cases}y=1\Rightarrow x=8\\y=3\Rightarrow x=6\end{cases}}\)

Vậy   x = 8; y = 1

hoặc x = 6; y = 3

# Chúc bạn học tốt #

Bạn có thể giải thích rõ dòng: 4 và 5 không. Mình thấy nó chưa được chính xác.

\(xy^2+2xy+x=32y\)

\(x\left(y+1\right)^2=32y\)

\(\Rightarrow x=\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Vì \(\left(y,\left(y+1\right)^2\right)=1\)và \(x\inℤ\)\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\inƯ\left(32\right)=Ư\left(2^5\right)=\left\{2^2;2^4\right\}\)

\(Khi\left(y+1\right)^2=2^2=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=2\\y+1=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-3\end{cases}}\)

\(\cdot y=1\Rightarrow x=\frac{32.1}{4}=8\)        

\(\cdot y=-3\Rightarrow x=\frac{32.\left(-3\right)}{4}=-24\)

\(Khi\left(y+1\right)^2=2^4=16\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=4\\y+1=-4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=3\\y=-5\end{cases}}}\)

\(\cdot y=3\Rightarrow x=\frac{32.3}{16}=6\)

\(\cdot y=-5\Rightarrow x=\frac{32.\left(-5\right)}{16}=-10\)

Vậy nghiệm phương trình \(\left(x;y\right)=\left(8;1\right);\left(-24;-3\right);\left(6;3\right);\left(-10;-5\right)\)

X(y³ + 2y + 1) = 32y

Vì (y³ + 2y + 1; y) = 1 nen 32 \(⋮\)chia hết cho y³ + 2y + 1.

Đến đây tự giải nhé.

ủa bạn cái đoạn \(\left(y^3+2y+1;y\right)=1\)   dấu chấm phẩy “;” nghĩa là sao ?

; là dấu ngăn cách 2 số đó đó

\(x^2-2xy-3y^2=3x-y+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy-3x-3y^2+y-2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(2y+3\right)-3y^2+y-2=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(2y+3\right)+\left(2y+3\right)^2-\left(2y+3\right)^2-12y^2+4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-4y^2-12y-9-12y^2+4y-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-16y^2-8y-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-\left(16y^2+8y+1\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2y-3\right)^2-\left(4y+1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-6y-4\right)\left(2x+2y-2\right)=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3y-2\right)\left(x+y-2\right)=4\)

Đến đây bn tự giải nha

Cách khác: Ta có \(x^2y+2xy+y=32x\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+1\right)^2=32x\).

Từ đó \(32x⋮\left(x+1\right)^2\).

Mà \(\left(x,\left(x+1\right)^2\right)=1\) nên \(32⋮\left(x+1\right)^2\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\in\left\{1;4;16\right\}\).

+) Với \(\left(x+1\right)^2=1\Rightarrow x=0\) (loại)

+) Với \(\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow x=1;y=8\)

+) Với \(\left(x+1\right)^2=16\Rightarrow x=3;y=6\).

Vậy...

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+2x+1\right)-32x-32=-32\)

\(\Leftrightarrow y\left(x+1\right)^2-32\left(x+1\right)=-32\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(xy+y-32\right)=-32\)

Do \(x+1\ge2\) nên chỉ có các trường hợp sau:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=2\\xy+y-32=-16\end{matrix}\right.\) 

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\xy+y-32=-8\end{matrix}\right.\)

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=8\\xy+y-32=-4\end{matrix}\right.\)

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=16\\xy+y-32=-2\end{matrix}\right.\)

TH5: \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=32\\xy+y-32=-1\end{matrix}\right.\)

Bạn tự giải

a.

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau  \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)

\(\Rightarrow...\)

b.

\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)

\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)

Lại có:

\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)

 (1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)