Ta có :

\(\sqrt{x-1}\ge0\)

\(\Rightarrow2+\sqrt{x-1}\ge2\)

\(\Rightarrow Min_A=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

@Nguyễn Việt Lâm

@Lê Thị Thục Hiền

Làm được ở TH a,b,c > hoặc = 0 thôi nha ( nếu a,b,c>0 thì mình chỉ biết tìm maxP thôi)

Đặt \(\sqrt{a+b}=x\), \(\sqrt{b+c}=y\),\(\sqrt{c+a}=z\) (x,y,z \(\ge0\))

=> \(0\le x,y,z\le2\)

Có \(x^2+y^2+z^2=2\left(a+b+c\right)=2.4=8\)

Có \(2-x\ge0\) => \(x\left(2-x\right)\ge0\) <=> \(2x-x^2\ge0\) <=> \(2x\ge x^2\)

Cm tương tự cũng có: \(2y\ge y^2\) , \(2z\ge z^2\)

=>\(2x+2y+2z\ge x^2+y^2+z^2=8\)

<=> \(x+y+z\ge4\)

<=> \(P=x+y+z\ge4\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\left(x,y,z\right)\in\left(2,2,0\right),\left(2,0,2\right),\left(0,2,2\right)\)

=> \(\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0,4,0\right),\left(4,0,0\right),\left(0,0,4\right)\right\}\)

Ta có:

A = x 

A=x ma la lm jup ha tu dung A=x bo tay

\(A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

\(=x-2\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+1\right)+\left(\sqrt{y}+1\right)^2+2\left(y-\sqrt{y}+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{2}\ge-\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}-1=0\\\sqrt{y}-\frac{1}{2}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}}\)

áp dụng bdt cô-si ta có P\(\ge\)2

dấu = xảy ra khi (a+b)²=ab 

\(\text{Giải}\)

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Ấp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(P=\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}.\frac{3}{4}\)

\(\text{ÁP DỤNG BĐT Cô-si Ta đc:}\)\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(\sqrt{ab}\right)}{4\sqrt{ab}\left(a+b\right)}}=1\)

Theo BĐT Cô si ta đc:\(\frac{3}{4}.\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{3}{2}.\text{Dấu "=" xảy ra khi: a=b}\)

fuc* 

Pmin=3/2+1=5/2 nhé

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên không tồn tại

Với giá trị \(x\) càng gần số 1 về bên trái thì A là 1 số âm có giá trị tuyệt đối càng lớn, A càng nhỏ

Bạn cứ cho x những giá trị như 0.999999 hay 0.999999999 là thấy

Lời giải:

\(A=2004+\sqrt{2003-x}\)

a)Để \(A\) có nghĩa thì \(2003-x\ge0\Leftrightarrow x\le2003\)

b) Ta có:

\(A=2004+\sqrt{2003-x}=2005\)

Tương đương với:

\(\sqrt{2003-x}=1\)

Suy ra :\(\left|2003-x\right|=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2003-x=1\\2003-x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2002\\x=2004\end{matrix}\right.\)

c) Ta có:

Để \(A\) nhỏ nhất thì \(\sqrt{2003-x}\) cũng phải nhỏ nhất

\(\sqrt{2003-x}\ge0\Leftrightarrow2004+\sqrt{2003-x}\ge2004\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x=2003\)

\(\sqrt{a+b}.\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}\)

\(=\sqrt{2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}\ge\sqrt{2+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}}=\sqrt{2+2}=2\)

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Có: \(A=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+4}+3.I3y^2I+5\ge\sqrt{4}+3.0+5=7\)

dấu bằng xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2\\y=0\end{cases}=0}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=0\end{cases}}\)

Vì \(\left(2x+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+4\ge4\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(2x+1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

\(3\left|3y^2\right|+5\ge5\)

Cộng vế với vế ta được :\(A=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+4}+3\left|3y^2\right|+5\ge2+5=7\) có gtnn là 7

Dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}\left(2x+1\right)^2=0\\\left|3y^2\right|=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=4\end{cases}}}\)

Vậy gtnn của A là 7 <=> x = - 1/2 ; y = 0