Ta có:

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\)\(>\sqrt{1}=1\)

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\)\(< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{4}}}}=2\)

Vậy A không phải số tự nhiên.

Nếu đúng cho nhé.

con nay kho the

Ta có: A < \(\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{3}}}\) < \(\sqrt{3}\)

Lại có: A > \(\sqrt{2}\)

=> \(\sqrt{2}< A< \sqrt{3}\) => A ko phải số tự nhiên

ta có:

\(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}>\sqrt{1}=1\)

lại có: \(\sqrt{2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+....+\sqrt{2}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+2}}=2}\)\(\Rightarrow1< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+....+\sqrt{2}}}}< 2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\) ko phải là STN

Nhìn vào bài dễ thấy, \(A>1\)hay ta chứng minh \(A< 2\)

Vậy: \(\sqrt{2+\sqrt{2}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

Nên:

\(A=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\)

\(\Rightarrow1< A< 2\)hay \(A\neℕ\left(đpcm\right)\)

a) \(ab+bc+ca=1\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=1-2abc\left(a+b+c\right)\\\left(a+b+c\right)^2-2=a^2+b^2+c^2\end{cases}}\)

\(A=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+a^2+b^2+c^2+1}\)

\(A=\sqrt{a^2b^2c^2-2abc\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)^2}\)

\(A=\sqrt{\left(abc-a-b-c\right)^2}=\left|abc-a-b-c\right|\)

Do a, b, c là các số hữu tỉ nên \(\left|abc-a-b-c\right|\) là số hữu tỉ 

b) \(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}=1\)

\(B< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{4}}}}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}=\sqrt{2+2}=2\)

=> \(1< B< 2\) B không là số tự nhiên 

c) câu này có ng làm r ib mk gửi link 

à chỗ câu b) mình nhầm tí nhé 

\(B=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...+\sqrt{1}}}}>1\)

Sửa dấu "=" thành ">" hộ mình 

Dễ thấy M > 1

Mặt khác  \(M=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{2}}}}< \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{4}}}}\)

Mà  \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}+...+\sqrt{4}}}}=2\)

Suy ra 1<M<2 nên M ko là số tự nhiên.

Có \(A>\sqrt{6}\)

Có \(\sqrt{6}< \sqrt{9}=3\) \(\Rightarrow\sqrt{6+\sqrt{6}}< \sqrt{6+3}=3\)\(\Rightarrow A=\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}< 3\)

\(\Rightarrow\sqrt{6}< A< 3\)

\(\Rightarrow A\notin N\)