ta có \(\frac{10n^2+9n+4}{20n^2+20n+9}\) là phân số tối giản khi

\(\left(10n^2+9n+4,20n^2+20n+9\right)=1\)

mà \(\left(20n^2+20n+9\right)-2\left(10n^2+9n+4\right)=2n+1\)

\(\Rightarrow\left(10n^2+9n+4,2n+1\right)=\left(10n^2+9n+4,20n^2+20n+9\right)\)

mà \(\left(10n^2+9n+4\right)-\left(2n+1\right)\left(5n+2\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(10n^2+9n+4,2n+1\right)=\left(2n+1,2\right)=1\)

Vậy \(\left(10n^2+9n+4,20n^2+20n+9\right)=1\) hay phân số đã cho là tối giản

Gọi \(ƯCLN\left(10n^2+9n+4;20n^2+20n+4\right)=d\)\(\left(d\ge1\right)\)

Ta có : \(\left(10n^2+9n+4\right)⋮d\)và \(\left(20n^2+20n+9\right)⋮d\)

Hay \(\left[2\left(10n^2+9n+4\right)+2n+1\right]⋮d\)

\(\Rightarrow\left(2n+1\right)⋮d\left(1\right)\)

Mặt khác : \(\left(10n^2+9n+4\right)⋮d\Rightarrow\left(10n^2+9n+2\right)+2⋮d\)\(\Rightarrow\left(5n+2\right)\left(2n+1\right)+2⋮d\)\(\)

Vì \(\left(2n+1\right)⋮d\Rightarrow\left(5n+2\right)\left(2n+1\right)⋮d\)

Mà \(\left(5n+2\right)\left(2n+1\right)+2⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\). \(\Rightarrow\) ƯCLN (\(10n^2+9n+4;20n^2+20n+9\)) =1

\(\Rightarrow\)Phân số trên tối giản

\(\)

ê có thừa con số 9 không vậy

ai tic gium minh lai bi tru diem hoi dap nua roi

Với n=1 => \(10^1-9.1-1=0\) chia hết cho 81

Giả sử \(10^k-9k-1\) chia hết cho 81

Ta cần c/m \(10^{k+1}-9\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 81

\(10^{k+1}-9k-1=10.10^k-9k-9-1=\)

\(=\left(10^k-9k-1\right)+9.\left(10^k-1\right)\)

Ta có \(10^k-9k-1\) chia hết cho 81

Ta có \(9\left(10^k-1\right)=9x999....99\) (k chữ số 9)\(=9.9\left(1111...111\right)=81.1111...11\)  (k chữ số 1) chia hết cho 81

\(\Rightarrow10^{k+1}-9\left(k+1\right)-1\) chia hết cho 81

\(\Rightarrow10^n-9n-1\) chia hết cho 81 với mọi n

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

\(b\)\(=\)\(10\)\(^n\)+ \(72n\)\(-1\)

 \(=10\)\(^n\)\(+72n\)\(-1\)

\(=10^{n^{ }}\)\(-1\)(có n\(-1chữ\) số 9)=9\(x\)(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81

Ta Có:

Cho biểu thức trên là B

+ 

=10n=10n(có n−1chữ−1chữ số 9)=9(11....1)(có n chữ số 1)

B= 10ⁿ-1+72n=9x(11....1)+72n 

=>B:9=11....1+8n=11....1-n+9n

Ta Thấy:11....1 có n chữ số1 có tổng các chữ số là n

=>11....1-n chia hết cho 9

=>B:9=11....1-n+9n chia hết cho 9

Vậy B chia hết cho 81

10^n - 9n - 1 chia hết cho 27 (*) 

Sử dụng phương pháp quy nạp. 

- Với n = 1, ta có 10^1 - 9x1 -1 = 0, chia hết cho 27. 

- Giả sử (*) đúng với n = k (thuộc N*), tức là: 
10^k - 9k - 1 chia hết cho 27 

- Ta cần chứng minh (*) cũng đúng với cả n = k + 1, tức là: 
10^(k+1) - 9(k+1) - 1 chia hết cho 27. 

Thật vậy: 
10^(k+1) - 9(k+1) - 1 = 10 x 10^k - 9k - 10 = 10 x (10^k - 9k -1) + 81k 

10^k - 9k - 1 chia hết cho 27, nên lượng này nhân 10 lên cũng chia hết cho 27. 

81 chia hết cho 27, nên 81k chia hết cho 27. 

Vậy (*) đúng với mọi n thuộc N* (đpcm).

Để \(\dfrac{10n^2+9n+4}{20n^2+20+9}\) tối giản

\(\Rightarrow10n^2+9n+4⋮1;20n^2+20n+9⋮1\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow2\left(10n^2+9n+4\right)-\left(20n^2+20n+9\right)⋮1\)

\(\Rightarrow20n^2+18n+8-20n^2-20n+9⋮1\)

\(\Rightarrow-2n-1⋮1\) (luôn đúng \(\forall n\in N\))

\(\Rightarrow dpcm\)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì phân số 10�2+9�+420�2+20�+920n2+20n+910n2+9n+4​ tối giản