Để tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3y - 2z + 4 = 0, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích.

Đầu tiên, ta có thể nhìn thấy rằng phương trình trên là một phương trình bậc 2 đối với x, y và z. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2.

Tuy nhiên, để tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn phương trình, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai.

Bước 1: Ta bắt đầu với việc thử giá trị của x từ -100 đến 100. Bước 2: Với mỗi giá trị của x, ta thử tất cả các giá trị của y từ -100 đến 100. Bước 3: Với mỗi cặp giá trị của x và y, ta tính giá trị của z từ phương trình ban đầu. Bước 4: Kiểm tra xem giá trị của z có phải là số nguyên không. Nếu đúng, ta lưu lại cặp giá trị (x, y, z) là một nghiệm của phương trình.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có danh sách tất cả các số nguyên (x, y, z) thỏa mãn phương trình đã cho.

a) Áp dụng bài toán sau : a + b + c = 0 \(\Rightarrow\)a³ + b³ + c³ = 3abc

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}\)

Ta có : \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)

\(A=xyz.\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.3.\frac{1}{xyz}=3\)

b)  x² + y² + z² - xy - 3y - 2z + 4 = 0

4x² + 4y² + 4z² - 4xy - 12y - 8z + 16 = 0

( 4x² - 4xy + y² ) + ( 3y² - 12y + 12 ) + ( 4z² - 8z + 4 ) = 0

( 2x - y )² + 3 ( y - 2 )² + 4 ( z - 1 )² = 0

Ta có : ( 2x - y )² \(\ge\)0 ;  3 ( y - 2 )² \(\ge\)0 ;  4 ( z - 1 )² \(\ge\)0

Mà ( 2x - y )² + 3 ( y - 2 )² + 4 ( z - 1 )² = 0 

\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y-2=0\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=1\end{cases}}}\)

Vậy ....

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

\(x^2+y^2+z^2-xy-3y-2z+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-xy+\dfrac{1}{4}y^2\right)+\left(\dfrac{3}{4}y^2-3y+3\right)+\left(z^2-2z+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+3\left(\dfrac{1}{4}y^2-y+1\right)+\left(z-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+3\left(\dfrac{1}{2}y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}y=0\\\dfrac{1}{2}y-1=0\\z-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}y\\\dfrac{1}{2}y=1\\z=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)

\(3x^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2-18x=6\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-3\right)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\)

\(\Rightarrow3\left(x-3\right)^2\le33\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\le11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left\{0;1;4;9\right\}\)

Thế lần lược vô giải tiếp sẽ ra

Áp dụng với 6y^2 thì còn ngắn hơn nữa