\(5\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\ge\sqrt{15}\)

\(\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+2xy+3y^2+12xy}}\ge\frac{x^2}{\sqrt{9x^2+12xy+4y^2}}=\frac{x^2}{3x+2y}\)

\(A\ge sigma\frac{x^2}{3x+2y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{5}\ge\sqrt{\frac{3}{5}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)

h2r r1000

Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow S=1\)

Ta chứng minh \(S=1\) là GTNN của \(S\)

Thật vật ta có: \(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4x^2+yz+1}{4x^2-yz+2}+\frac{-4y^2+xz+1}{4y^2-xz+2}+\frac{-4z^2+xy+1}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2yz-4x^2+xy+xz}{4x^2-yz+2}+\frac{2xz-4y^2+xy+yz}{4y^2-xz+2}+\frac{2xy-4z^2+xz+yz}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{-\left(2x+z\right)\left(x-y\right)-\left(2x+y\right)\left(x-z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)^2\left(\frac{z^2+6yz+6xz+8xy-4}{\left(4y^2-xz+2\right)\left(4x^2-yz+2\right)}\right)\right)\ge0\) *Đúng*

BĐT cuối đúng hay ta có ĐCPM

bạn có thể trình bày theo bdt cô si hay bunhia  được không

Ta có:

Tương tự ta có: \(\frac{1}{4y^2-zx+2}\ge zx;\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge xy\)

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên. ta được:

\(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-zx+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge xy+yz+zx=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(x^2+5=x^2+xy+yz+zx=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{\left(3x+3y\right)\left(2x+2z\right)}+\sqrt{\left(3x+3y\right)\left(2y+2z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

\(P\ge\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{3x+3y+2x+2z+3x+3y+2y+2z+x+z+y+z}\)

\(P\ge\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{9x+9y+6z}=\frac{2\left(3x+3y+2z\right)}{3\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)

\(P_{min}=\frac{2}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=1\\z=2\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Vì \(xy+yz+xz=5\Rightarrow x^2+5=x^2+xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+5=(x+y)(x+z)\)

\(\Rightarrow \sqrt{6(x^2+5)}=\sqrt{6(x+y)(x+z)}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\sqrt{6(x+y)(x+z)}=\frac{\sqrt{6}}{2}.2\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(x+y+x+z)\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{6(x^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(2x+y+z)\)

Thực hiện tương tự với các hạng tử còn lại suy ra:

\(\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}\leq \frac{\sqrt{6}}{2}(4x+2y+4z)=2\sqrt{6}(x+y+z)\)

\(\Rightarrow \frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6(x^2+5)}+\sqrt{6(y^2+5)}+\sqrt{6(z^2+5)}}\geq \frac{3(x+y+z)}{2\sqrt{6}(x+y+z)}=\frac{3}{2\sqrt{6}}\)

Vậy min bằng \(\frac{3}{2\sqrt{6}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)

@Nguyễn Việt Lâm

@Lê Thị Thục Hiền

@Phạm Minh Quang

\(P=\sum\frac{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2}}{4yz+1}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=3\)

\(P=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\frac{a}{b^2+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{b^2+1}\right)\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right)\)

\(P\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(P_{min}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)

@Akai Haruma

@Trần Thanh Phương

@HISINOMA KINIMADO

Le Tran Anh này, bạn biết làm không mà bảo ng khác ngu? Nếu biết thì giải đi...