Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn : (a+b).(b+c).(c+a) abc và \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\)
CM: abc=0
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c là cá sô thực thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\\\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\end{cases}}\)
Chứng minh rằng abc=0
Cho \(a,b,c\) là các số thực thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\\\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\end{cases}}\)
Chứng minh rằng \(abc=0\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức sau:
i) \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\)
ii) \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\)
Chứng minh rằng \(abc=0\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\), chứng minh rằng:
\(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\)
\(\ge2\sqrt{2\left(2+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+a^3+b^3+c^3\right)}\)
Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\), khi đó \(xyz=1\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
Ta viết lại bất đẳng thức như sau:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(2+xy+yz+zx+x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Bình phương 2 vế ta được:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\left(x+y\right)^2\left(x+\frac{1}{y}\right)^2\ge x+1^4\)hay ta được bất đẳng thức:
\(\left(x+y\right)^2\left(x+xz\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\Leftrightarrow x^2\left(x+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(x+1\right)^4\)
Tương tự ta được các bất đẳng thức:
\(y^2\left(y+z\right)^2\left(1+x\right)^2\ge\left(y+1\right)^4;z^2\left(z+x\right)^2\left(1+y\right)^2\ge\left(z+1\right)^4\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
\(x^2y^2z^2\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
\(\ge\left(x+1\right)^4\left(y+1\right)^4\left(z+1\right)^4\)
Hay:
\(\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)^2\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\)
Mặt khác, ta lại có:
\(\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2\ge\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\cdot8\sqrt{xyz}\)
\(=8\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
Do đó ta được bất đẳng thức:
\(\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2\ge8\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
Bất đẳng thức được chứng minh, dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Các số thực a,b,c thõa mãn đồng thời hai đẳng thức
i. ( a+b).(b+c).(c+a)= abc
ii. ( \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\)
Cho \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\)
và\(\left(a^3+b^3\right)\left(c^3+a^3\right)\left(b^3+c^3\right)=a^3b^3c^3\)
Tính abc.
tự làm là hạnh phúc của mỗi công dân.
Với a,b,c thuộc R thỏa mãn : \(\left(3a+3b+3c\right)^3=24+\left(3a+b-c\right)^3+\left(3b+c-a\right)^3+\left(3c+a-b\right)^3\)
CMR : (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 3a+b-c=x\\ 3b+c-a=y\\ 3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)
Khi đó, điều kiện đb tương đương với:
\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(x+z)=24\)
\(\Leftrightarrow 3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24\)
\(\Leftrightarrow (a+2b)(b+2c)(c+2a)=1\)
Do đó ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số thực a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left(a-b\right)\sqrt[3]{1-c^3}+\left(b-c\right)\sqrt[3]{1-a^3}+\left(c-a\right)\sqrt[3]{1-b^3}=0\)
Chứng minh rằng \(\sqrt[3]{\left(1-a^3\right)\left(1-b^3\right)\left(1-c^3\right)}+abc=1\)
5 tháng 9 2018 lúc 21:13
1, Cho a, b, c thỏa mãn :
left{{}begin{matrix}left(a+bright)left(b+cright)left(c+aright)abcleft(a^3+b^3right)left(b^3+c^3right)left(c^3+a^3right)a^3b^3c^3end{matrix}right.
CMR:abc0
2, a, CMR nếu x + y + z 0 thì :
2left(x^5+y^5+z^5right)5xyzleft(x^2+y^2+z^2right)
b, Cho a, b,c, d thỏa mãn : a + b + c + d 0
CMR : a^3+b^3+c^3+d^33left(ab-cdright)left(c+dright)
Mọi người giải giúp mk, đc bài nào hay bài ấy nhé!
Đọc tiếp
1, Cho a, b, c thỏa mãn :
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=abc\\\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)=a^3b^3c^3\end{matrix}\right.\\ CMR:abc=0\)
2, a, CMR nếu x + y + z = 0 thì :
\(2\left(x^5+y^5+z^5\right)=5xyz\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
b, Cho a, b,c, d thỏa mãn : a + b + c + d = 0
CMR : \(a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\)
Mọi người giải giúp mk, đc bài nào hay bài ấy nhé!
2 ) b )
\(a+b+c+d=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-\left(c+d\right)^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a=-c^3-3c^2d-3d^2c-d^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3b^2a+c^3+3c^2d+3d^2c+d^3=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3a^2b-3b^2a-3c^2d-3d^2c\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab\left(a+b\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3ab\left(c+d\right)-3cd\left(c+d\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+d^3=3\left(ab-cd\right)\left(c+d\right)\) \(\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)