Cho tam giác ABC nhọn.Đặt BC=a,AC=b,AB=c.Cmr
\(\dfrac{a}{\sin A}\)=\(\dfrac{b}{\sin B}\)=\(\dfrac{c}{\sin C}\)
Cho tam giác nhọn ABC,BC=a, AC=b,AB=c.CMR:
a,\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
b,Có thể xảy ra :Sin A=Sin B+Sin C
kẻ AH vuông góc với BC
đặt AH = h . xét hai tam giác vuông AHB và AHC , ta có :
sin B = \(\frac{AH}{AB}\), sin C = \(\frac{AH}{AC}\)
do đó \(\frac{sinB}{sinC}=\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AC}{AH}=\frac{h}{c}\cdot\frac{b}{h}=\frac{b}{c}\)
suy ra \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
tương tự \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
vậy suy ra dpcm
cái đường thẳng cắt tam giác đó mk không bt nó thừ đâu tới, bạn bỏ cái đấy đi nhá
Cho tam giác nhọn ABC,BC=a, AC=b,AB=c.CMR:
a,\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
b,Có thể xảy ra :Sin A=Sin B+Sin c
a, ( Định lý Sin)
b, Áp dụng T/C tỉ lệ thức
Xảy ra \(\Leftrightarrow a=b+c\)
Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, AB=c. chứng minh: \(sin\dfrac{A}{2}< =\dfrac{a}{b+c}\)
Hình tự vẽ nha
Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có:
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1):
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\)
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2)
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Tick plz
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(AB=c,AC=b,BC=a\)
Chứng minh: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
Lời giải:
Kẻ \(BE\perp AC(E\in AC)\)
Khi đó \(\sin A=\frac{BE}{c}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{ac}{BE}\)
Mặt khác, \(S_{ABC}=\frac{BE.b}{2}\Rightarrow BE=\frac{2S_{ABC}}{b}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\). Hoàn toàn tương tự với \(\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}\) ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{abc}{2S_{ABC}}\) (đpcm)
Gọi O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của BC, ta có:
\(OD\perp BC\)
\(OB=R;BD=\dfrac{1}{2}a\)
\(\widehat{BOD}=\widehat{A}\) (A là góc nội tiếp chắn cung BC, Ở là góc tâm chắn \(\dfrac{1}{2}\) cung BC)
Trong tam giác vuông DOB ta có:
\(sin\left(DOB\right)=\dfrac{BD}{OB}\)
\(\Rightarrow sinA=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{R}\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=2R\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\)
Kẻ AH, BE là đường cao của tam giác ABC.
Xét tam giác ABH vuông tại H có:
\(\sin B=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{c}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
\(\Rightarrow AH=c.\sin B\) (1)
Xét tam giác ACH vuông tại H có:
\(\sin C=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AH}{b}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
\(\Rightarrow AH=b.\sin C\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow c.\sin B=b.\sin C\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}\) (3)
Xét tam giác ABE vuông tại E có:
\(\sin A=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{BE}{c}\) (tỉ số lượng giác)
\(\Rightarrow BE=c.\sin A\) (4)
Xét tam giác BEC vuông tại E có:
\(\sin C=\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BE}{a}\) (tỉ số lượng giác)
\(\Rightarrow BE=a.\sin C\) (5)
Từ (4) và (5) \(\Rightarrow c.\sin A=a.\sin C\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{a}{\sin A}\) (6)
Từ (3) và (6) \(\Rightarrow\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)
Cho tam giác ABC; AB = c; AC = b; BC = a; đường phân giác AD. Chứng minh:
1) \(\sin\dfrac{A}{2}\le\dfrac{a}{b+c}\)
2) \(\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{S}< 2\)
3) \(\dfrac{1}{\sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\sin\dfrac{C}{2}}\ge6\)
4) \(\sin\dfrac{A}{2}+\sin\dfrac{B}{2}+\sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{1}{8}\)
5) \(\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{\sin^2\dfrac{C}{2}}\ge12\)
1)
Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM
Cho tam giác ABC có BC=a , AB=c , AC=b
Tính a)sin\(\dfrac{A}{2}\)<\(\dfrac{a}{b+c}\)
b) sin \(\dfrac{a}{2}\).sin\(\dfrac{b}{2}\).sin\(\dfrac{c}{2}\) \(\dfrac{1}{8}\)
Cho tam giác ABC nhọn có ba cạnh a,b,c
CM: Diện tích tam giác ABC = \(\dfrac{1}{2}ab.\sin C\) = \(\dfrac{1}{2}bc.\sin A\) = \(\dfrac{1}{2}ac.\sin B\)
Cho tam giác ABC nhọn.Đặt BC=a,AC=b.AC=c.Chứng minh rằng
\(\frac{a}{\sin A}\)=\(\frac{b}{\sin b}\)=\(\frac{c}{\sin C}\)
Kẻ BH \(\perp\)AC
Xét t/g ABH vg tại H
\(sinA=\frac{BH}{AB}\)
Xét t/g BHC vuông tại H
\(sinC=\frac{BH}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{sinA}{sinC}=\frac{\frac{BH}{AB}}{\frac{BH}{BC}}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)
Tương tự \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh \(\dfrac{\sin^3\dfrac{B}{2}}{\cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)+ \(\dfrac{\cos^3\dfrac{B}{2}}{sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)-\(\dfrac{\cos\left(A-C\right)}{\sin B}\).\(\tan B=2\)