Bài đã đăng rồi bạn lưu ý không đăng lại làm loãng box toán.

Dự đoán dấu "=" và chọn điểm rơi phù hợp để áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng - Trung bình nhân

Chắc câu a là \(2a^2\) ...

\(A=\left(a^2+b^2+2ab-4a-4b+4\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+4014\)

\(A=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+4014\ge4014\)

\(A_{min}=4014\) khi \(a=b=1\)

\(B=\left(x^2-7x\right)\left(x^2-7x+12\right)=\left(x^2-7x\right)^2+12\left(x^2-7x\right)\)

\(B=\left(x^2-7x+6\right)^2-36\ge-36\)

\(B_{min}=-36\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=6\end{matrix}\right.\)

Bài này sử dụng tính chất cơ bản: \(\left|A\right|\pm A\ge0\) với mọi A

a.

\(A=\left|-x-3\right|+\left|4x+1\right|+\left|3x+5\right|+5x+2\)

\(A\ge\left|3x-2\right|+\left|3x+5\right|+5x+2=\left|3x-2\right|+\dfrac{3}{2}.\left|2x+\dfrac{10}{3}\right|+5x+2\)

\(A\ge\left|3x-2\right|+\left|2x+\dfrac{10}{3}\right|+\dfrac{1}{2}\left|2x+\dfrac{10}{3}\right|+5x+2\)

\(A\ge\left|5x+\dfrac{4}{3}\right|+5x+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{2}\left|2x+\dfrac{10}{3}\right|+\dfrac{2}{3}\ge\dfrac{2}{3}\)

\(A_{min}=\dfrac{2}{3}\) khi \(2x+\dfrac{10}{3}=0\Rightarrow x=-\dfrac{5}{3}\)

b. Tương tự

\(B\ge\left|5x+7\right|+\left|x+\dfrac{5}{4}\right|+3\left|x+\dfrac{5}{4}\right|-6x+5\)

\(B\ge\left|6x+\dfrac{33}{4}\right|-\left(6x+\dfrac{33}{4}\right)+3\left|x+\dfrac{5}{4}\right|+\dfrac{53}{4}\ge\dfrac{53}{4}\)

\(B_{min}=\dfrac{53}{4}\) khi \(x=-\dfrac{5}{4}\)

Lời giải:

a. Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

\(A=|-x-3|+|4x+1|+|3x+5|+5x+2\)

\(\geq |-x-3+4x+1|+|3x+5|+5x+2=|3x-2|+|3x+5|+5x+2\)

Nếu $x\geq \frac{2}{3}$ thì:

$A\geq 3x-2+3x+5+5x+2=11x+5\geq 11.\frac{2}{3}+5=\frac{37}{3}$

Nếu $\frac{-5}{3}\leq x< \frac{2}{3}$ thì:

$A\geq 2-3x+3x+5+5x+2=9+5x\geq 9+5.\frac{-5}{3}=\frac{2}{3}$

Nếu $x< \frac{-5}{3}$ thì:

$A\geq 2-3x-3x-5+5x+2=-1-x>\frac{2}{3}$

Từ 3 TH trên suy ra $A_{\min}=\frac{2}{3}$ khi $x=\frac{-5}{3}$

b. Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ thì:

\(B\geq |2x+3+3x+4|+|4x+5|-6x+5=|5x+7|+|4x+5|-6x+5\)

Nếu $x\geq \frac{-5}{4}$ thì:

$B\geq 5x+7+4x+5-6x+5=3x+17\geq 3.\frac{-5}{4}+17=\frac{53}{4}$ 

Nếu $\frac{-7}{5}\leq x< \frac{-5}{4}$ thì:

$B\geq 5x+7-4x-5-6x+5=-5x+7> -5.\frac{-5}{4}+7=\frac{53}{4}$

Nếu $x< \frac{-7}{5}$ thì:

$B\geq -5x-7-4x-5-6x+5=-15x-7> -15.\frac{-7}{5}-7=14$

Từ 3 TH trên suy ra $B_{\min}=\frac{53}{4}$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{-5}{4}$