Bài này đăng nhiều rồi bạn vào câu hỏi tương tự tìm

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

Ta có: \(\frac{a+1}{b^2+1}=\frac{ab^2+a+b^2+1-ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}\) 

Tương tự \(\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c\left(b+1\right)}{2}\)

               \(\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a\left(c+1\right)}{2}\) 

\(\Rightarrow VT\ge3-\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bài làm:

Áp dụng Cauchy dạng cộng mẫu ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+2c}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+2a}\left(3\right)\)

Cộng vế 3 bất đẳng thức (1);(2); và (3) ta được:

\(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Học tốt!!!!

sai đề ?

đúng bạn ơi

bé hơn hoặc bằng nhá các bạn

 a+b+c+ab+bc+ac = 6abc \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

Cmtt : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a}\)

Cmtt : \(\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

\(3A+3\ge2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2.6=12\)

\(\Leftrightarrow A+1\ge4\Leftrightarrow A\ge3\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

https://olm.vn/hoi-dap/detail/223126660207.html?pos=512235459592

Giờ mình mới để ý , câu này có trong chuyên đề : Bất đẳng thức Cauchy (Cô si) của cô Nguyễn Linh Chi (ở phần dạng toán và hướng dẫn giải) (mình đã inbox link cho bạn rồi)

Còn đề bạn viết sai rồi nhé

1) Trước hết ta đi chứng minh BĐT : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  với \(a,b>0\) (1) 

Thật vậy : BĐT  (1) \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)  ( luôn đúng )

Vì vậy BĐT (1) đúng.

Áp dụng vào bài toán ta có:

\(\frac{1}{4}\left(\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\right)\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

                                                                 \(=\frac{1}{4}\cdot\left[2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh !

Bài 1 : 

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) với a , b > 0

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\\\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\end{cases}}\)

Cộng theo từng vế 

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( đpcm)

2 )

Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy - Schwarz :
\(VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\left(1\right)\)

Vì \(a+b+c=1\)nên 

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(a^3++ab^2+b^3+bc^2+c^3+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

Áp dụng AM - GM 

\(a^3+ab^2\ge2a^2b\). Tương tự cho 2 cặp còn lại suy ra 

\(a^3+b^3+c^3+ab^2+bc^2+ca^2\ge2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\right)\)

\(\ge\sqrt{ab}+2\sqrt{\frac{a+b}{2}\cdot\frac{2}{a+b}}=1+2=3.\)   (ĐPCM)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ta được

\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\ge\frac{9}{2\left(a+2b\right)}\)

\(\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}\ge\frac{9}{2\left(b+2c\right)}\)

\(\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{9}{2\left(c+2a\right)}\)

Cộng các BĐT theo vế : 

\(\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{2}\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (a,b,c>0)

The BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\). Thật vậy, ta có:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:

\(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\)

\(\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\). Thay a,b,c bởi 1 , ta được

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{9}{x+y+z}\)

Áp dụng vào ta có: \(3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\ge3.\frac{9}{3a+3b+3c}=3.\frac{9}{3\left(a+b+c\right)}=3.\frac{3}{a+b+c}\)

\(=\frac{9}{a+b+c}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{9}{a+b+c}\)(2)

Vì (1) bằng (2) nên ta có đpcm . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c (a,b,c > 0)

Hoàng Lê Bảo Ngọc

BĐt đầu tiên đó cần phải chứng minh