Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Phan PT
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
3 tháng 3 2021 lúc 18:41

Ta có: \(\dfrac{x}{x^2+1+y^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{y}{y^2+z^2+2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)\) ; \(\dfrac{z}{z^2+x^2+2}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z^2}{z^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{y^2}{y^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{z^2}{z^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\right)=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 12 2020 lúc 19:57

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=2^2-2.1=2\) (đpcm)

dbrby
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
5 tháng 12 2018 lúc 13:15

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

\(=x.\left(\dfrac{x}{y+z}+1-1\right)+y.\left(\dfrac{y}{x+z}+1-1\right)+z.\left(\dfrac{z}{x+y}+1-1\right)\)

\(=x.\left(\dfrac{x+y+z}{y+z}\right)+y.\left(\dfrac{x+y+z}{x+z}\right)+z.\left(\dfrac{x+y+z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=0\)

Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Akai Haruma
5 tháng 8 2017 lúc 11:54

Lời giải:

Đặt \(\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )=(a,b,c)\Rightarrow abc=1\)

Bài toán tương đương với: Cho \(a,b,c>0\)\(abc=1\). CMR

\(a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)

Thật vậy.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3(1)\)

Theo hệ quả của BĐT Am-Gm:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\)

Kết hợp với \((1)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z\)

Lê Hà My
Xem chi tiết
Lê Hà My
Xem chi tiết
Naly Tv
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
25 tháng 10 2018 lúc 18:01

Nesbit:v dài

 Mashiro Shiina
25 tháng 10 2018 lúc 18:01

Nham ko phai Nesbit, Cauchy-Schwarz ra luon

Vinne
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Minh
25 tháng 10 2021 lúc 16:40

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=\dfrac{2x}{2}=x\)

Cmtt \(\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{x+z}{4}\ge y;\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{x+y}{4}\ge z\)

Cộng VTV 3 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{4}\ge x+y+z\\ \Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge x+y+z-\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z\)

 

Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 12 2018 lúc 23:02

\(VT=\dfrac{\left(\dfrac{1}{z}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{y}\right)^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}{2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)

Dâu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)