Question

CM:

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Với x ; y ; z >0

Answer 1

Lời giải:

Đặt \(\left ( \frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x} \right )=(a,b,c)\Rightarrow abc=1\)

Bài toán tương đương với: Cho \(a,b,c>0\) và \(abc=1\). CMR

\(a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)

Thật vậy.

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3(1)\)

Theo hệ quả của BĐT Am-Gm:

\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\)

Kết hợp với \((1)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z\)