Cho tam giác ABC nhọn, điểm M nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: AM.BC + BM.AC + CM.AB >4SABC
Những câu hỏi liên quan
cho tam giác ABC nhọn có diện tích S , M bất kì trong tam giác.CM: AM.BC+BM.AC+CM.AB>=4S. Dấu "=" xảy ra khi nào?
Cho tam giác ABC, xác định M nằm trong tam giác sao cho AM.BC+BM.CA+CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất
GỌi E;F thứ tự là hình chiếu của B,C trên AM và S1;S2;S3 là diện tích các tam giác AMB;AMC;BMC Ta có:
AM.BE+AM.CFAM.BE+AM.CF \leq AM.BD+AM.CDAM.BD+AM.CD Hay 2S1+2S22S1+2S2 \leq AM.(BD+CD)=AM.BC
Dấu = xảy ra khi AM vuông góc BC
tương tự có: 2S1+2S32S1+2S3 \leq BM.AC
2S2+2S32S2+2S3 \leq CM.AB
\Rightarrow AM.BC+BM.AC+CM.AB \geq 4SABC4SABC
dấu = xảy ra khi M là trực tâm tam giác ABC
D là giao điểm của AM và BC
chúc bạn học tốt
ĐÚNG 100%
Đúng 0
Bình luận (0)
1/ Cho hình vuông ABCD. Lấy M tùy ý trên cạnh BC. Đường thẳng vuông góc AM tại M, cắt CD tại N. Tìm vị trí của M để CN lớn nhất2/ Cho hình vuông ABCD. Lấy M,N,P,Q thuộc 4 cạnh AB,BC,CD,AD. TÌm điều kiện của tứ giác MNPQ để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất3/ Lấy I nằm trong tam giác ABC nhọn. Vẽ IH⊥BC,IK⊥AC,IL⊥AB. Xác định vị trí của I để AL^2+BH^2+CK^2 nhỏ nhất4/ Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trong tam giác sao cho AM.BC+BM.AC+CM.AB nhỏ nhất
Đọc tiếp
1/ Cho hình vuông ABCD. Lấy M tùy ý trên cạnh BC. Đường thẳng vuông góc AM tại M, cắt CD tại N. Tìm vị trí của M để CN lớn nhất
2/ Cho hình vuông ABCD. Lấy M,N,P,Q thuộc 4 cạnh AB,BC,CD,AD. TÌm điều kiện của tứ giác MNPQ để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất
3/ Lấy I nằm trong tam giác ABC nhọn. Vẽ \(IH⊥BC,IK⊥AC,IL⊥AB\). Xác định vị trí của I để \(AL^2+BH^2+CK^2\) nhỏ nhất
4/ Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M trong tam giác sao cho AM.BC+BM.AC+CM.AB nhỏ nhất
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c. Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.c. Chứng minh BM.AC + AM.BC AB.MCai bit ko giup voi
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c. Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
ai bit ko giup voi
tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm trên cung nhỏ AB (M khác A,B). đường thẳng đi qua B và song song với AM cắt CM tại D. chứng minh
a. hai tam giác MDB và ABC đồng dạng
b. hai tam giác AMB và CDB đồng dạng
c. AM.BC+BM.AC=CM.AB
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BM ,CN a) Chứng minh: tam giác AMB đồng dạng tam giác ANC và AB.MN=AM.BC. b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm. AH,BC. Chứng minh IK là trung trực của MN. c) Gọi E là giao điểm của MN và BC. Chứng minh NC là tia phân giác của góc MND và BD.CE=CD.BE
a: XétΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
góc A chung
Do đó: ΔAMB\(\sim\)ΔANC
b: Ta có: ΔANH vuông tại N
mà NI là đường trung tuyến
nên NI=AH/2(1)
Ta có: ΔAMH vuông tại M
mà MI là đường trung tuyến
nên MI=AH/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra NI=MI(3)
Ta có: ΔNBC vuông tại N
mà NK là đường trung tuyến
nên NK=BC/2(4)
Ta có: ΔMBC vuông tại M
mà MK là đường trung tuyến
nên MK=BC/2(5)
Từ (4), (5) suy ra NK=MK(6)
Từ (3) và (6) suy ra IK là đường trung trực của MN
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC .M là điểm bất kì nằm trong tam giác.AM cắt BC tại A',BM cắt CA tại B',CM cắt AB tại C'.Chứng mính
SA'B'C'<=1/4SABC
bài này gần giống
Cho tam giác ABC , M nằm trong tam giác các dg thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC,AC,AB tại A1,B1,C1?
xác đinh vị trí của M để
a, AM/A1M + BM/B1M +CM/ C1M đạt GTNN
b, AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M đạt GTNN
c, A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM đạt GTLN
d, A1M/AM . B1M/BM . C1M/CM đạt GTLN
Bài làm
Đặt S(MBC) =S1, S(AMC) =S2; S(AMB) =S3
AM/A1M = S3/S(A1BM) = S2/S(CA1M) = (S2+S3)/S1
Tương tự
BM/B1M = (S1+S3)/S2
CM/C1M = (S1+S2)/S3
=> AM/A1M + BM/B1M +CM/C1M = (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2
=(S2/S1 + S1/S2) + (S3/S1+S1/S3) + (S2/S3+S3/S2) >= 6
Khi M là trong tâm
b]
AM/A1M . BM/B1M . CM/ C1M= (S2+S3)/S1 + (S1+S3)/S2 + (S1+S3)/S2 >=8 (Cauchy)
Khi M là trọng tâm
c]
A1M/AM + B1M/BM +C1M/CM = S1/(S2+S3) +S2/(S1+S3) + S3/(S2+S1)=
= (S1+S2+S3) [1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 13/(S2+S1)] -3=
=1/2[(S1+S2) + (S2+S3) +(S3+S1)][1/(S2+S3) +1/(S1+S3) + 1/(S2+S1)] -3>=
>= 9/2 -3 =3/2
Khi M là trong tâm
d] Hệ quả từ B Max =1/8
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong góc A và góc B của tam giác. Hãy chứng minh rằng M là điểm nằm trong tam giác ABC
ta luôn chứng minh được rằng điểm M luôn nằm trong một tam giác khi nó đã nằm trong 2 goc của 1 tam giác
Đúng 0
Bình luận (0)